19、祖先逻辑证明系统研究

祖先逻辑证明系统研究

1. 祖先逻辑的基础性质

在逻辑研究中，递归函数和关系在特定逻辑系统中的可定义性是一个重要问题。研究发现，所有递归函数和关系都能在$L_{ {0,s,+}}^{TC}$中定义，这里的“$+$”是一个二元函数符号。这一特性暗示了向上勒文海姆 - 斯科伦定理在祖先逻辑中不成立，并且祖先逻辑是有穷性的，即紧致性定理对其不适用。此外，祖先逻辑甚至不是算术的，这意味着任何对其可靠的形式演绎系统都是不完全的。

2. 根岑风格的证明系统

理想情况下，我们期望为祖先逻辑构建一个一致、可靠且完备的公理系统。然而，由于祖先逻辑不存在这样的系统，我们转而寻找实用且有效的部分形式系统，这些系统足以形式化数学推理。下面将介绍几种基于根岑经典一阶逻辑带等词系统$LK^=$扩展而来的证明系统。

2.1 RT CG系统

RT CG系统是为自反传递闭包运算符$RTC$设计的根岑风格证明系统，它在$LK^=$的基础上增加了以下公理和推理规则：
- 公理 ：$\Gamma \Rightarrow \Delta, (RTC_{x,y}\phi) (s, s)$
- 推理规则 ：
1. $\frac{\Gamma \Rightarrow \Delta, \phi \left[ \frac{s}{x}, \frac{t}{y} \right]}{\Gamma \Rightarrow \Delta, (RTC_{x,y}\phi) (s, t)}$
2. $\frac{\Gamma \Rightarrow \Delta, (