29、自证公理系统的更广泛认识论意义解读

自证公理系统的更广泛认识论意义解读

1. 引言

哥德尔不完备性定理分为两部分。第一部分表明，不存在能识别算术所有真命题的判定程序；第二部分指出，足够强的逻辑系统无法证明自身的一致性。哥德尔在其历史性论文中留有余地，暗示希尔伯特一致性计划的弱化形式可能会取得成功。

后来，哥德尔在1933年的一次讲座中表示，希尔伯特1926年的最初目标按原计划难以实现。但我们的研究受到希尔伯特目标的吸引，尽管哥德尔第二不完备性定理明确限制了逻辑系统自我证明一致性的范围，我们仍在过往研究中探索了该定理的推广和边界情况例外。本文将在有限基数的公理系统背景下强化先前结果，并更直观地解释其意义。

2. 背景设定

• 自证系统定义 ：设((α, d))为满足“分割规则”的公理系统和演绎方法对。当满足以下两个条件时，该对被称为“自证的”：
  • (α)的一个定理表明，演绎方法(d)应用于系统(α)将产生一组一致的定理。
  • 公理系统(α)实际上是一致的。
• 构建满足部分条件的系统 ：对于任何((α, d))，很容易构造一个(α_d ⊇ α)满足第一个条件。例如，(α_d)可以由(α)的所有公理加上一个“SelfRef(α, d)”句子组成，该句子表明：“使用(d)的演绎方法，从系统(α)与这个句子‘SelfRef(α, d)’的并集中无法证明(0 = 1)”。然而，这样的(α_d)可能是不一致的，从而违反第二个条件。
• 逻辑类型与自证关系 ：