21、任意子演算：理论与应用

任意子演算：理论与应用

1. 引言

在量子计算领域，拓扑量子计算（TQC）是一种新兴的计算范式，具有独特的优势。为了更深入地研究TQC，我们引入了一种形式化的演算——任意子λ - 演算（Aλ），它与经典的λ - 演算类似，但适用于量子计算的场景。这种演算使得TQC更易于在理论计算机科学领域进行研究，如可计算性和复杂性问题的探讨，同时也为量子编程语言的设计提供了更合适的基础。

2. 任意子树

为了在演算中准确重现任意子的行为，我们需要深入研究任意子的希尔伯特空间，即融合空间。融合空间是与融合过程相对应的状态空间，而与融合过程对偶的是分裂过程，它按照相反的规则进行操作。分裂过程会创建任意子树，其定义如下：
- 定义1：任意子树 ：任意子树是一种树结构，其中每个内部节点有两个子节点，这些子节点由应用于该节点标签任意子的分裂规则所产生的两个任意子标记。
不同的任意子树可以通过以下因素获得：
- 应用融合规则的任意子的选择所导致的树的形状。
- 树构建的每一步所选择的融合规则所决定的任意子的类型。

我们将树的叶子节点处的任意子称为叶任意子，根节点处的任意子称为根任意子，其余的任意子称为内部任意子。五角形和六边形方程（见附录A）将通过融合同一组任意子得到相同结果的不同树联系起来。前者与融合规则的结合律有关，后者与两个任意子a和b的顺时针交换有关。

从物理角度来看，任意子系统由一个封闭定向表面Σ组成，其中类型为a1, …, am的任意子位于不同的点p1, …, pm处，以形成所需的配置。在我们的设定中，这些任意子被视为根据给定模型的分裂规则构建的树的叶子，即分裂过程结束时基