42、立方时间内识别双边上下文

立方时间内识别双边上下文

在自然语言处理和形式语言理论中，语法识别算法的效率至关重要。本文将介绍一种在立方时间内识别双边上下文语法的算法，该算法在时间复杂度上有显著提升。

1. 引言

Barash和Okhotin在2012年引入了单边上下文语法，扩展了上下文无关语法和连接语法，允许产生式依赖于其左侧上下文。随后在2013年，他们将其扩展到双边上下文语法。

双边上下文语法中的上下文概念纯粹是句法上的，与基于重写系统的上下文概念（如上下文敏感语法）有很大不同。在双边上下文语法中，确定一个子串是否与一个非终结符匹配，只需要检查该字符串本身；而在经典的上下文敏感语法中，不仅要考虑字符串本身，还要考虑特定推导的适当步骤。

Barash和Okhotin在第一篇论文中给出了一个类似于上下文无关语言的Cocke - Kasami - Younger（CKY）算法的立方时间算法，用于识别这些语法生成的语言。在第二篇论文中，他们给出了一个类似Valiant（1975）风格的识别算法，该算法使用$O(|G| · n^2)$的空间和$O(|G|^2 · n^{ω + 1})$的时间，其中$O(n^ω)$是$n × n$布尔矩阵乘法的复杂度，已知的最佳界限是$2 ≤ ω < 2.3727$。他们的算法要求语法处于类似于Chomsky范式的二进制范式，但不清楚是否可以在亚指数级膨胀的情况下实现这种范式。

本文提出的算法仅需$O(|G| · n^3)$的时间。该算法基于双边上下文的定义，使用演绎系统，并采用一种新的范式（分离范式），使得相应的演绎可以使用标准技术高效计算。同时，为了保持空间使用为二次方，需要进行一些特殊处理。

2. 定义 </