17、双层语法的不确定性模态逻辑：通用完备性定理

双层语法的不确定性模态逻辑：通用完备性定理

在逻辑研究领域，不确定性的处理一直是一个重要的课题。传统的模态逻辑和模糊逻辑在处理不确定性方面都有各自的特点，而双层模态逻辑则为我们提供了一种新的视角来综合处理这些问题。

1. 双层模态逻辑的背景与发展

最初，双层模态逻辑采用两层语法来限制模态词的使用，包括非模态公式、仅对非模态公式应用模态算子得到的原子模态公式，以及由原子模态公式构建的复杂模态公式，且两层的公式行为都由经典逻辑支配。这种形式受到了Hamblin观点的启发，他将模态算子□ϕ解读为“可能ϕ”，意味着ϕ的概率大于给定阈值。

后来，H´ajek提出了模糊概率逻辑，在保持下层语法使用经典逻辑解释的同时，在上层使用了Łukasiewicz逻辑，使得□ϕ的真值程度可以直接等同于ϕ的概率。此后，其他学者在此基础上进行了拓展，例如用不同的不确定性度量和不同的逻辑对来处理模糊事件的不确定性，甚至在处理模糊事件概率时，将下层的经典逻辑替换为模糊逻辑。

2. H´ajek的FP(Ł)逻辑

H´ajek提出的FP(Ł)逻辑是双层模态逻辑的一个重要实例。它的语法规则如下：
- 非模态公式遵循经典命题逻辑的公理，模态公式遵循Łukasiewicz逻辑的公理。
- 非模态公式和模态公式都有假言推理规则。
- 额外的公理：
- A1: □ϕ →Ł (□(ϕ →ψ) →Ł □ψ)
- A2: □¬ϕ ↔Ł ¬Ł□ϕ
- A3: □(ϕ ∨ψ) ↔Ł [(□ϕ →Ł □(ϕ ∧ψ)) →Ł □ψ]
- 模态必然规则：ϕ ⊢□ϕ

其语义对应于概率Kripke框架，即结构F =