41、可折叠下推自动机图上的一阶逻辑研究

可折叠下推自动机图上的一阶逻辑研究

1. 可构造栈的相关引理与自动机模拟

在处理可构造栈时，有一些关键的概念和引理。首先，为了找到特定原子及其标记，会进行一系列操作。例如，复制最顶层的 2 - 栈（push3），然后通过标记进行破坏性搜索，最后使用 pop3 移除垃圾信息。

引理 4 指出，若可构造的 3 - 栈 s 和 s′ 满足 stripln(mar(s)) = stripln(mar(s′))，则 s = s′。证明采用归纳法，主要考虑 top0(s) 有 3 阶链接的非平凡情况，需证明 s 和 s′ 最顶层原子的生成是相同的。具体分为几种情况：
- 当最顶层原子标记为 2 = 时，其生成是 gn(pop(top2(s)))，由 top0(s) 以下部分决定。
- 当标记为 2 < 和 3 < 时，其生成是 |s|。
- 当标记为 2 < 和 3 ≥ 时，该原子必然从下方的 2 - 栈复制而来，与对应原子生成相同。
- 当标记为 2 > 时，该原子必然从下方的 1 - 栈（或下方的某个 2 - 栈）复制而来。

基于这些引理，可以从自动机 A 构造 A′。A′ 的初始栈为 mar(⊥)。当 A 要应用一个带操作 θ 和最终状态 q 的 c - 标记转换时，A′ 先使用 ε - 转换模拟自动机 Aθ，然后使用 c - 标记转换将状态变为 q。此时，G/ε(A) 与 G/ε(A′) 同构，配置 (q, s) 对应于 (q, mar(s))。并且，根据引理 4，该可折叠下推自动机（CPDA）是发光的，因为 ε - 闭包仅包含栈形式为 mar(s) 的配置。

2. 不可达可构造栈配置的一阶理论不可