40、可折叠下推自动机配置图的一阶逻辑与相关计算方法

可折叠下推自动机配置图的一阶逻辑与相关计算方法

1. 引言

在计算机科学领域，自动机理论一直是研究的热点。早在 70 年代，Maslov 将下推自动机的概念推广到了高阶下推自动机（n - PDA），允许栈中包含其他栈而非仅仅是原子元素。近年来，人们对这些自动机的兴趣再度兴起，它们不仅被作为字符串语言的接受器进行研究，还被用作图和树的生成器。

Knapik 等人证明了确定性 n - PDA 生成的树与安全的 n 阶递归方案生成的树是一致的。受安全是否意味着对递归方案有语义限制这一问题的驱动，Hague 等人将 n - PDA 模型扩展为 n 阶可折叠下推自动机（n - CPDA），引入了一种新的栈操作“collapse”，并证明了 n - CPDA 生成的树与所有 n 阶递归方案生成的树是一致的。

本文主要关注这些自动机的配置图，特别是它们的 ε - 闭包。n - PDA 图的 ε - 闭包恰好构成了 Caucal 层次结构，该结构是通过 MSO - 解释和图展开独立定义的。这些结果表明这些图具有可判定的 MSO 理论，同时也引发了关于 n - CPDA 图的 ε - 闭包中逻辑可判定性的问题。

2. 可折叠下推自动机的相关研究现状

在可折叠下推自动机的研究中，已经有了一些重要的成果。不幸的是，存在一个 2 - CPDA 图具有不可判定的 MSO 理论。Kartzow 表明 2 - CPDA 图的 ε - 闭包是树自动的，因此它们具有可判定的一阶理论。Broadbent 进一步研究了这个主题，他证明了对于 3 阶及更高阶的 CPDA，一阶理论开始变得不可判定。具体来说：
- 当 n ≥ 3 且 3 ≤ m ≤ n，公式为 Σ2 时，nm -