18、3C联合优化：基于ADMM的分布式算法研究

3C联合优化：基于ADMM的分布式算法研究

1. 算法停止准则与收敛性

在优化问题中，问题（6.21）的所有变量有界，目标函数也有界，即不等式 $\sum_{n\in N} v_n(\hat{a}_n^ , \tilde{s}_n^ , \hat{c}_n^ , \hat{h}_n^ ) < \infty$ 成立，其中 ${\hat{a}_n^ , \tilde{s}_n^ , \hat{c}_n^ , \hat{h}_n^ }$ 是问题（6.21）的最优解。由于问题（6.21）是凸优化问题，强对偶性成立。

根据相关理论，问题（6.21）的目标函数是凸的、封闭的且恰当的，拉格朗日函数（6.22）有鞍点，所以上述ADMM迭代在 $t \to \infty$ 时满足残差收敛、目标收敛和对偶变量收敛。

为了实现算法，采用如下停止准则：
$|\mathbf{r} {p}^{[t + 1]}|_2 \leq \vartheta {pri}$ 且 $|\mathbf{r} {d}^{[t + 1]}|_2 \leq \vartheta {dual}$
其中，$\vartheta_{pri} > 0$ 和 $\vartheta_{dual} > 0$ 是小的正常数标量，分别称为原始可行性条件和对偶可行性条件的可行性容差。这意味着原始残差 $\mathbf{r} {p}^{[t + 1]}$ 和对偶残差 $\mathbf{r} {d}^{[t + 1]}$ 必须足够小。

具体到小小区 $n$ 在第 $[t + 1]$ 次迭代时，原始可行性条件的残差需满足：
$|\hat{a} n^{[t + 1]} - a^{[t + 1]}|_2 \leq \vartheta {pri}, \forall n$
$|\hat{c} n^{[t + 1]} - \tilde{c}^{[t + 1]}|_2 \leq \vartheta {pri}, \forall n$
$|\hat{h} n^{[t + 1]} - h^{[t + 1]}|_2 \leq \vartheta {pri}, \forall n$

对偶可行性条件的残差需满足：
$|a^{[t + 1]} - a^{[t]}| 2 \leq \vartheta {dual}$
$|\tilde{c}^{[t + 1]} - \tilde{c}^{[t]}| 2 \leq \vartheta {dual}$
$|h^{[t + 1]} - h^{[t]}| 2 \leq \vartheta {dual}$

2. 二进制变量恢复

为了将原始问题（6.11）转化为凸问题，在之前的步骤中将二进制变量 $a$ 和 $h$ 松弛为连续变量。因此，在ADMM过程收敛后，需要恢复二进制变量。为了最大化MSO的收益，尝试最大化卸载用户设备（UE）的数量并尽可能多地存储互联网内容。

采用以下算法4来恢复二进制变量 $a$ 和 $h$：

算法4: 二进制变量恢复
1: 计算一阶偏导数
    计算增广拉格朗日函数关于每个 $a_{kn}$ 的一阶偏导数 $Q_{kn} = \frac{\partial L_{\rho}}{\partial a_{kn}}$。
2: 对所有偏导数 $Q_{kn}, \forall k, n$ 从大到小排序。
    将它们标记为 $Q_1, Q_2 \cdots Q_i \cdots$，并将对应的 $a_{kn}$ 标记为 $a_1, a_2 \cdots a_i \cdots$。
3: 对于 $i = 1, 2, \cdots$，执行以下操作
    设置 $a_i = 1$ 且 $a_{i + 1}, a_{i + 2}, a_{i + 3} \cdots = 0$；
    如果约束条件（6.11）C1 - C6 中有任何一个不成立，则跳出循环。
4: 输出恢复后的二进制变量 $\{a_{kn}\}, \forall k, n$。

同样的算法也应用于 $h$。需要注意的是，二进制变量的恢复会使结果与上界结果之间产生差距，但在仿真中表明，这个差距并不显著。

3. 算法可行性、复杂度与总结

3.1 可行性

如果移动边缘计算（MEC）服务器的计算能力和存储能力过低，或者频谱成本过高，问题的效用函数在所有可能的解下可能为非正。在这种情况下，最优解为 ${a^ , s^ , c^ , h^ } = {\vec{0}, \vec{0}, \vec{0}, \vec{0}}$，这意味着系统中的所有UE将在本地执行其计算任务，不会为任何UE分配频谱和计算资源，MEC服务器也不会存储任何请求的互联网内容。不过，除了极端情况，由于典型的MEC服务器通常比单个UE具有更高的计算能力和存储能力，MEC服务器可以允许至少一个UE卸载其计算任务或存储至少一个内容，并获得正收益。

3.2 复杂度

假设每个小小区中的平均UE数量为 $k$，小小区的总数为 $N$。集中式算法的输入规模为 $kN$，若采用原始 - 对偶内点法求解凸优化问题，其复杂度为 $O((kN)^x)$，其中 $x > 0$，$x = 1$ 表示线性算法，$x > 1$ 表示多项式时间算法。

对于提出的分布式算法：
- 局部变量更新（6.23）：每个小小区只需关注其关联的UE，输入规模为 $k$，每次迭代采用原始 - 对偶内点法求解问题，复杂度为 $O(k^x)$，其中 $x > 0$。
- 全局变量更新（6.24） - （6.26）：设计算（6.24） - （6.26）所需的基本步骤数为 $y$，则复杂度为 $kNy$。
- 拉格朗日乘子更新（6.27） - （6.29）：设计算（6.27） - （6.29）所需的基本步骤数为 $z$，则时间复杂度为 $kz$。

每次迭代的总时间复杂度为 $O(k^x) + kNy + kz = O(k^x)$。假设 $P$ 表示算法收敛所需的迭代次数，分布式算法的总体时间复杂度为 $O(k^x)P$。仿真表明，算法收敛前的迭代次数不多，因此分布式算法相比集中式算法可以显著降低时间复杂度。

3.3 算法总结

整体资源分配算法总结如下：

算法5: 通过ADMM的MEC系统中的分散式资源分配算法
1: 初始化
    a) MEC服务器确定停止准则阈值 $\vartheta_{pri}$ 和 $\vartheta_{dual}$；
    b) MEC服务器初始化初始可行解 $\{a, \tilde{c}, h\}^{[0]}$ 并发送给每个SeNB；
    c) 每个SeNB $n$ 收集其所有关联UE的信道状态信息（CSI）；
    d) 每个SeNB $n$ 确定其初始拉格朗日乘子向量 $\{\sigma_n^{[0]} > 0, \omega_n^{[0]} > 0, \tau_n^{[0]} > 0\}$ 并发送给MEC服务器；
    t = 0。
2: 迭代
    重复以下步骤
    a) 每个SeNB $n$ 通过求解问题（6.30）更新其局部变量 $\{\hat{a}_n, \tilde{s}_n, \hat{c}_n, \hat{h}_n\}^{[t + 1]}_{n \in N}$ 并传输给MEC服务器；
    b) MEC服务器更新全局变量 $\{a, \tilde{c}, h\}^{[t + 1]}$ 并传输给每个SeNB；
    c) MEC服务器更新拉格朗日乘子 $\{\sigma_n, \omega_n, \tau_n\}^{[t + 1]}_{n \in N}$ 并传输给每个SeNB；
    t = t + 1。
    直到 $\|a^{[t + 1]} - a^{[t]}\|_2 \leq \vartheta_{dual}$，$\|\tilde{c}^{[t + 1]} - \tilde{c}^{[t]}\|_2 \leq \vartheta_{dual}$ 且 $\|h^{[t + 1]} - h^{[t]}\|_2 \leq \vartheta_{dual}$。
3: 输出
    输出最优解 $\{a, \tilde{s}, \tilde{c}, h\}^*$。

3.4 仿真参数

主要仿真参数如下表所示：
| 参数 | 值 |
| ---- | ---- |
| 带宽 | 20MHz |
| UE $n$ 的发射功率 $P_n$ | 100 mWatts |
| 背景噪声 $\sigma^2$ | -100 dBm |
| 计算卸载的数据大小 $Z_{kn}$ | 420 KB |
| 计算任务的CPU周期数 $D_{kn}$ | 1,000 Megacycles |
| UE $n$ 的计算能力 $f_{kn}^{(l)}$ | 0.7 GHz |
| MEC服务器的计算能力 $F$ | 100 GHz |

4. 仿真结果与讨论

4.1 算法收敛性

不同参数 $\rho$ 值下，基于交替方向乘子法（ADMM）的算法收敛情况如下：
- 在最初的15次迭代中，算法的效用急剧增加。
- 在最初的40次迭代内进入稳定状态，说明该分散式算法能够快速收敛。
- 所有三种迭代过程最终收敛到相同的效用值。其中，$\rho = 1.2$ 时收敛最快，$\rho = 0.4$ 时最慢，但差异不显著。
- 基于ADMM的算法与集中式算法之间的差距较小。

4.2 卸载UE百分比

随着小小区总数的增加，卸载UE的百分比变化情况如下：
- 当小小区总数较小时，卸载UE的百分比保持为100%。
- 随着小小区总数的不断增加，卸载UE的百分比开始下降。这是因为当小小区总数较小时，为了最大化网络收益，所有UE都被允许卸载其计算任务；而当小小区总数足够大时，更多的UE倾向于将其计算任务卸载到MEC服务器，这会导致彼此之间的严重干扰，因此算法会自动拒绝一些UE的卸载请求。

4.3 资源分配

4.3.1 频谱资源分配

在设置4个小小区，每个小小区有4个UE的情况下，所有16个UE都被允许将其计算任务卸载到MEC服务器。由于不同UE的信道条件和计算任务大小不同，为了达到最优效用值，UE之间的频谱资源分配并不均匀。基于ADMM的算法和集中式算法的资源分配决策除了在少数UE上有轻微差异外，大致相符。

4.3.2 计算资源分配

同样在上述设置下，UE之间的计算资源分配也不均匀。基于ADMM的算法和集中式算法的资源分配决策近似一致。

4.4 总缓解的回程使用量

随着小小区数量的增加，基于ADMM的算法和集中式算法的总缓解回程使用量都不断增加，且两者非常接近。

4.5 MSO收益

4.5.1 与MEC服务器计算能力的关系

当SeNB总数为20时，随着MEC服务器计算能力的增加，集中式算法实现的收益最高，但基于ADMM的算法与集中式算法之间的差距不大。而采用统一频谱分配和统一计算资源分配的ADMM解决方案只能实现较低的收益，因为统一资源分配通常无法达到最优收益。此外，不进行缓存的ADMM解决方案由于缺乏缓解回程带宽的收益，总收益也较低。

4.5.2 与小小区数量的关系

随着小小区数量的增加，所有解决方案的收益起初急剧增加，因为更多的小小区加入系统后，频谱可以在更多小小区之间复用，MSO可以通过向更多小小区分配频谱获得更多收益。然而，当小小区数量达到约10个时，收益增长的加速度显著下降。这是因为当系统中有太多小小区时，所有UE在计算任务卸载过程中会相互造成严重干扰，算法会自动拒绝一些UE的卸载请求；同时，MEC服务器的计算资源不能同时复用，如果有太多卸载UE，分配给每个UE的计算资源量会减少，MSO从单个UE获得的收益也会减少。集中式算法和基于ADMM的算法在所有六种解决方案中实现了相对较高的收益。

4.5.3 与可用带宽的关系

当小小区数量设置为20时，基于ADMM的算法在各种频谱带宽条件下的收益与集中式算法接近。采用统一计算资源分配但频谱分配最优的ADMM解决方案相比其他两种统一解决方案（统一频谱分配和统一频谱与计算资源分配）可以实现相对较高的收益，这主要是因为频谱分配通常在赚取MSO的利益方面起着更重要的作用，因为与MEC服务器的计算资源不同，频谱资源可以在不同小小区的UE之间同时复用。

4.6 平均UE时间消耗

在小小区数量为20的情况下，比较基于ADMM的算法与集中式算法、本地计算解决方案和其他三种基准解决方案的平均UE时间消耗：
- 本地计算解决方案的时间消耗最大，因为本地设备的计算资源短缺，尤其是当计算任务规模较大时。
- 采用MEC计算和频谱资源统一分配的基准解决方案的时间消耗比本地计算解决方案少，因为MEC服务器比UE设备更强大，但由于资源分配未优化，其优势并不显著。
- 采用统一计算资源分配和统一频谱资源分配的ADMM解决方案的时间消耗比上述两种解决方案少。
- 集中式算法的时间消耗最少，基于ADMM的算法与集中式算法之间的差距较小。

5. 结论与未来工作

5.1 结论

提出了一种基于ADMM的分散式算法，用于异构无线蜂窝网络中的计算卸载、资源分配和互联网内容缓存优化。通过将计算卸载决策、频谱资源分配、MEC计算资源分配和内容缓存问题表述为一个优化问题，并采用基于ADMM的分布式解决方案进行求解。仿真结果表明，该方案在各种系统参数下的性能优于其他基准解决方案。

5.2 未来工作

未来将考虑在该框架中引入无线网络虚拟化。

综上所述，基于ADMM的分布式算法在计算卸载、资源分配和内容缓存优化方面具有良好的性能，能够有效降低算法复杂度，快速收敛，并在多种场景下取得接近集中式算法的效果。同时，该算法在提高MSO收益、减少UE时间消耗等方面表现出色，为异构无线蜂窝网络中的资源管理提供了一种有效的解决方案。未来引入无线网络虚拟化的研究将进一步拓展该算法的应用范围和性能。

6. 算法优势总结

6.1 收敛速度快

从算法收敛性的仿真结果来看，基于ADMM的算法在最初的15次迭代中效用急剧增加，并在最初的40次迭代内进入稳定状态。不同 $\rho$ 值下的迭代过程最终都能收敛到相同的效用值，且 $\rho = 1.2$ 时收敛最快，虽然 $\rho = 0.4$ 时最慢，但差异不显著。这表明该算法能够在较短的时间内达到稳定状态，相比一些收敛速度较慢的算法，能更快地为系统提供优化后的资源分配方案。

6.2 复杂度低

通过与集中式算法复杂度的对比可知，分布式算法在每次迭代中的总时间复杂度为 $O(k^x)$，总体时间复杂度为 $O(k^x)P$。由于仿真表明算法收敛前的迭代次数 $P$ 不多，所以分布式算法相比集中式算法可以显著降低时间复杂度。这意味着在大规模的异构无线蜂窝网络中，该算法能够更高效地运行，减少计算资源的消耗。

6.3 性能接近集中式算法

在多个性能指标上，基于ADMM的算法与集中式算法的表现接近。例如在效用值、卸载UE百分比、资源分配、总缓解的回程使用量、MSO收益以及平均UE时间消耗等方面，两者之间的差距都比较小。这说明分布式算法在保证性能的同时，避免了集中式算法可能带来的高计算成本和单点故障问题。

6.4 资源分配优化

在频谱资源和计算资源分配方面，基于ADMM的算法能够根据不同UE的信道条件和计算任务大小进行非均匀分配，以达到最优效用值。与集中式算法的资源分配决策大致相符，说明该算法能够有效地优化资源分配，提高系统的整体性能。

7. 实际应用场景分析

7.1 智能工厂

在智能工厂中，存在大量的物联网设备和工业机器人，它们需要进行实时的数据处理和计算任务。通过采用基于ADMM的算法，可以将部分计算任务卸载到MEC服务器，优化频谱资源和计算资源的分配。例如，对于一些对实时性要求较高的设备，可以优先分配频谱资源和计算资源，以确保其任务能够及时完成。同时，通过内容缓存技术，可以减少设备对外部网络的依赖，提高数据传输的效率。

7.2 智慧城市

在智慧城市的建设中，涉及到交通监控、环境监测、公共安全等多个领域的大量数据采集和处理。基于ADMM的算法可以应用于这些场景中，实现计算卸载和资源分配的优化。例如，在交通监控系统中，通过将视频分析等计算任务卸载到MEC服务器，可以减轻边缘设备的负担，提高数据处理的速度。同时，合理分配频谱资源可以确保数据的稳定传输。

7.3 移动办公

在移动办公场景下，员工使用各种移动设备进行工作，如手机、平板电脑等。这些设备的计算能力和电池续航能力有限，通过将部分计算任务卸载到MEC服务器，可以提高设备的性能和使用效率。基于ADMM的算法可以根据设备的需求和网络状况，动态地分配频谱资源和计算资源，为员工提供更好的办公体验。

8. 与其他算法的对比

8.1 与统一资源分配算法对比

统一资源分配算法通常无法根据不同UE的实际情况进行资源分配，导致资源利用效率低下。而基于ADMM的算法能够根据UE的信道条件、计算任务大小等因素进行非均匀分配，从而达到更高的效用值。在MSO收益和平均UE时间消耗等方面，基于ADMM的算法都表现出明显的优势。

8.2 与不进行缓存的算法对比

不进行缓存的算法无法利用内容缓存技术来减轻回程带宽的压力，导致总收益较低。基于ADMM的算法在优化资源分配的同时，还考虑了互联网内容缓存问题，通过合理地存储和使用内容，可以减少对外部网络的依赖，提高系统的性能和收益。

9. 算法改进方向探讨

9.1 考虑更多的约束条件

在实际应用中，系统可能存在更多的约束条件，如设备的能量消耗、网络的延迟要求等。可以对算法进行改进，将这些约束条件纳入到优化问题中，以进一步提高算法的实用性和性能。

9.2 自适应调整参数

目前算法中的参数 $\rho$ 是固定的，可以考虑设计一种自适应调整参数的机制，根据系统的实时状态和性能指标，动态地调整 $\rho$ 的值，以提高算法的收敛速度和性能。

9.3 结合机器学习技术

可以将机器学习技术与基于ADMM的算法相结合，通过对历史数据的学习和分析，预测系统的未来状态，从而更准确地进行资源分配和计算卸载决策。

10. 总结与展望

10.1 总结

基于ADMM的分布式算法在异构无线蜂窝网络的计算卸载、资源分配和互联网内容缓存优化方面具有显著的优势。该算法收敛速度快、复杂度低、性能接近集中式算法，能够有效地优化资源分配，提高MSO的收益，减少UE的时间消耗。在实际应用场景中，如智能工厂、智慧城市和移动办公等，该算法都具有广阔的应用前景。

10.2 展望

未来，随着无线网络技术的不断发展和应用场景的不断拓展，对算法的性能和功能提出了更高的要求。通过考虑更多的约束条件、自适应调整参数和结合机器学习技术等改进方向，可以进一步提高算法的性能和实用性。同时，引入无线网络虚拟化的研究将为算法带来更多的创新和发展空间，使其能够更好地适应未来复杂多变的网络环境。

以下是算法5的流程图：

graph TD;
    A[初始化] --> B[迭代开始];
    B --> C{是否满足停止条件};
    C -- 否 --> D[SeNB更新局部变量];
    D --> E[MEC服务器更新全局变量];
    E --> F[MEC服务器更新拉格朗日乘子];
    F --> G[t = t + 1];
    G --> C;
    C -- 是 --> H[输出最优解];

以下是不同算法在MSO收益方面的对比表格：
| 算法 | 与MEC服务器计算能力关系 | 与小小区数量关系 | 与可用带宽关系 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 集中式算法 | 收益最高 | 前期收益增长快，后期增速下降 | 收益较高 |
| 基于ADMM的算法 | 与集中式算法差距不大 | 前期收益增长快，后期增速下降 | 与集中式算法接近 |
| 统一频谱分配ADMM | 收益较低 | 收益较低 | 收益较低 |
| 统一计算资源分配ADMM | 收益较低 | 收益较低 | 相对较高 |
| 统一频谱和计算资源分配ADMM | 收益最低 | 收益最低 | 收益最低 |
| 不进行缓存的ADMM | 总收益较低 | 总收益较低 | 总收益较低 |