8、向上平面有向图中的顶点不相交路径问题研究

向上平面有向图中的顶点不相交路径问题研究

1. 图的构建与顶点不相交路径问题定义

在研究顶点不相交路径问题时，我们首先要构建特定的图 (G_C)。构建过程如下：
- 对于 (j \in [m])，(t \in [n_j])，添加边 ((C_j, T_{1,j,t})) 和 ((B_{n,j,t}, C’ j))。
- 最后，在 (G {i,j,t}) 中，若 (L_{j,t}) 是变量，则删除边 (e^+)；若 (L_{j,t}) 是取反变量，则删除边 (e^-)。

构建好图 (G_C) 后，我们定义顶点不相交路径问题 (P_C)，添加以下源/目标对：
| 条件 | 源/目标对 |
| ---- | ---- |
| (i \in [n])，(j \in [m])，(t \in [n_j - 1]) | ((V_i, W_{i,1,1}))，((Z_{i,m,n_m}, V’ i))，((X {i,j,t}, Y_{i,j,t}))，((Z_{i,j,t}, W_{i,j,t + 1})) |
| (i \in [n])，(j \in [m - 1]) | ((Z_{i,j,n_j}, W_{i,j + 1,1})) |
| (j \in [m]) | ((C_j, C’_j)) |

下面定理的证明基于这样一个事实：在我们的构建中，边 (e^+) 在 (G_{i,j,t}) 中存在，当且仅当 (C_j) 不包含变量 (V_i) 的取反；边 (e^-) 在 (G_{i,j,t}) 中存在，当且仅当 (C_j) 不包含变量 (V_i) 本身。特别地，如果子句根本不包含该变