34、最优无环哈密顿路径补全研究

最优无环哈密顿路径补全研究

1. 相关概念与研究背景

在图论中，有几个重要的基础概念。如果一个平面图 $G$ 存在一种画法，使得 $G$ 的所有顶点都出现在同一个面的边界上（通常将这个面画成外部面），那么这个图就是外平面图。而三角剖分外平面图则是内部经过三角剖分的外平面图。

对于无环有向图，无环哈密顿路径补全（Acyclic - HPC）问题在偏序集（posets）的背景下，以线性扩展和跳跃数的术语进行了研究。一个偏序集 $P$（或其对应的无环有向图 $G$）的最优线性扩展，等同于 $G$ 的最小规模无环哈密顿路径补全集 $E_c$，其跳跃数等于 $E_c$ 的规模。该问题由于在调度等方面的应用而被广泛研究，即便对于二分有序集，它也已被证明是 NP 难的。不过，对于几类有序集，存在多项式时间算法，如下表所示：
| 有序集类型 | 相关研究 |
| ---- | ---- |
| 无环序 | [相关研究表明可在多项式时间解决] |
| 有界宽度序 | [相关研究表明可在多项式时间解决] |
| 二维二分序 | [相关研究表明可在多项式时间解决] |
| K 自由序 | [相关研究表明可在多项式时间解决] |

在书籍嵌入方面，有研究表明平面图可以在 4 页的书籍中进行嵌入，并且存在一些平面图需要 4 页才能完成书籍嵌入。允许脊柱交叉的书籍嵌入被称为拓扑书籍嵌入，每个平面图都可以进行 2 页的拓扑书籍嵌入，且每条边最多只有一个脊柱交叉。

对于无环有向图和偏序集，向上书籍嵌入也有相关研究。向上书籍嵌入可以看作是脊柱垂直且所有边都沿向上方向单调递增绘制的书籍嵌入。平面无环有向图的向上书籍嵌入所需的最少页数是无界的，而向