37、图算法中的路径与内存问题研究

图算法中的路径与内存问题研究

在图算法领域，诸多问题的解决往往依赖于特定的算法策略，而这些算法在实际应用中又会面临各种挑战，如内存需求、计算复杂度等。本文将围绕图的最小消除、部分 k - 树算法中的表计算内存需求、形式语言约束路径问题以及局部搜索算法在 SAT 问题中的最坏情况分析等方面展开探讨。

平面图的最小消除

在平面图的处理中，对于包含二元割的团数量以及包含关节点的团数量存在一定限制。这使得我们能够以线性规模表示某种顺序关系，并在线性时间内确定该顺序。

在确定顶点顺序时，对于具有相同最大割或团的顶点，需要进一步处理。假设最大割 (c(v)) 是一个团，我们需确定 ({x|x \leq’ v}) 在 (L_{i - 1}) 中的邻域。通过引理和推论，我们可以证明相关邻域是某个循环枚举的区间，并且可以在线性时间内确定这些区间。

消除过程的步骤如下：
1. 首先消除邻域 (N’(v)) 只有一个元素的顶点。
2. 之后，若 (N’(v)) 和 (N’(w)) 相交，则 (v) 是 (w) 在循环枚举中的后继或后继的后继，反之亦然。这种策略使得我们能够在线性时间内更新区间 (N’(v))，并且保证 (N’(v)) 仍然是一个区间。

部分 k - 树算法中的表计算内存需求

许多 NP 难的图问题在限制为树宽有界的图（即部分 k - 树）时，存在线性时间算法。这些算法通常需要为输入图的树分解 (T) 的每个顶点维护一个大数据表。

表需求

我们定义了树的表需求，即最小化同时存储的表的数量。通过特定的定理和推论，我们可以计算出树中每个顶点的表需求。例如，对于叶节点 (u)，表需求