62、图论中的计数与同态问题研究

图论中的计数与同态问题研究

在图论领域，计数问题和同态问题一直是研究的热点。本文将深入探讨局部单射同态到简单加权图的问题，以及有界团宽度图中最大匹配和路径匹配的计数问题。

局部单射同态到简单加权图

在研究局部单射同态到简单加权图时，我们首先考虑图的构造和映射。给定一个图 (H) 为固定的非二分加权图 (W(a, b, c))，其中有大顶点 (w_A) 和 (w_B)，且 (a \neq b)。

我们通过一系列的构造和映射来解决问题。对于图 (U_x)（(x \in {a, b})），它与 (T) 不相交，并且如果存在长度为 (x) 的循环 (C) 使得 (v = T \cap C)，则 (U_x) 在顶点 (v) 处包含一个环。图 (U_a) 可以通过添加顶点和边使其成为 (2n_a) - 正则图，并且任何 (2n_a) - 正则图都可以在多项式时间内划分为 (n_a) 个 2 - 因子。对于 (U_a) 的每个 2 - 因子 (Z)，我们使用 (H) 中长度为 (a) 的一个循环 (C_a)，并将 (Z) 中的循环顶点映射到 (C_a)。对于 (U_b) 也采用类似的处理方式。需要注意的是，(U_c) 中没有环，它是二分图，最大度至多为 (n_c)，根据 Kőnig 定理，存在一个边着色 (\phi : E(U_c) \to [n_c])，我们将 (H) 中长度为 (c) 的一个简单路径分配给 (\phi) 的每个颜色类。这样，我们就可以从 (F) 构造出 (f)。

整个归约过程的所有步骤都可以在多项式时间内计算，并且标记因子问题也可以在多项式时间内解决。因此，我们可以在多项式时间内计算出 (f)（如果存在），或者检测到它不存在。

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