24、矩阵线性结构与不等式的深入解析

矩阵线性结构与不等式的深入解析

1. 矩阵的线性结构

1.1 线性结构的示例

在矩阵的研究中，存在一些特殊的矩阵集合具有线性结构。例如，$n×n$ 的下三角矩阵、严格下三角矩阵和对角矩阵都属于线性结构。这些矩阵集合的典型矩阵 $X$ 都遵循线性约束条件，如 $x_{ij} = x_{kl}$ 或 $x_{ij} = 0$。对于每个这样的矩阵类，都存在一个向量函数 $\psi(X)$ （类似于对称矩阵的 $vech(X)$），它包含了矩阵 $X$ 的 $s$ 个“自由”元素，以及一个矩阵 $\Delta$ （类似于对称矩阵的 $D$），使得对于所有属于该线性结构 $L(\Delta)$ 的矩阵 $X$，都有 $\Delta\psi(X) = vec X$。不同线性结构的维度 $s$ 有所不同，对称矩阵的维度为 $\frac{1}{2}n(n + 1)$，下三角矩阵为 $\frac{1}{2}n(n + 1)$，严格下三角矩阵为 $\frac{1}{2}n(n - 1)$，对角矩阵为 $n$。

1.2 线性结构的基本性质

设 $L(\Delta)$ 是一个维度为 $s$ 的线性结构，有以下三个等价陈述：
- 陈述 (i)：$A \in L(\Delta)$；
- 陈述 (ii)：$(I - \Delta\Delta^+) vec A = 0$；
- 陈述 (iii)：存在一个 $s×1$ 的向量 $\psi(A)$，使得 $vec A = \Delta\psi(A)$。

证明过程如下：
- (i) $\Leftrightarrow$ (iii)：$A \in L(\Delta)$ 意味着 $vec