15、常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程初值问题的数值解法

1. 引言

在科学和工程领域，我们经常会遇到求解微分方程的问题。对于一阶微分方程，其一般形式为 $y′ = f (x, y)$，这里 $y′ = \frac{dy}{dx}$，$f (x, y)$ 是给定的函数。该方程的解包含一个任意常数（积分常数），为了确定这个常数，我们需要知道解曲线上的一个点，即需要指定在某个 $x$ 值（例如 $x = a$）处的 $y$ 值，可表示为 $y(a) = α$。

对于 $n$ 阶常微分方程 $y^{(n)} = f (x, y, y′, … , y^{(n - 1)})$，它总是可以转化为 $n$ 个一阶方程。我们使用如下记号：
$y_0 = y$
$y_1 = y′$
$y_2 = y′′$
$…$
$y_{n - 1} = y^{(n - 1)}$

那么等价的一阶方程组为：
$y_0′ = y_1$
$y_1′ = y_2$
$y_2′ = y_3$
$…$
$y_n′ = f (x, y_0, y_1, … , y_{n - 1})$

求解这些方程需要 $n$ 个辅助条件。如果这些条件在同一个 $x$ 值处指定，那么这个问题就是初值问题，此时辅助条件（称为初始条件）的形式为：
$y_0(a) = α_0$
$y_1(a) = α_1$
$…$
$y_{n - 1}(a) = α_{n - 1}$

如果 $y_i$ 在不同的 $x$ 值处指定，那么这个问题就是边值问题。

例如：
- $y′′ = -y$