16、感应电机的优化设计解析

感应电机的优化设计解析

1. 感应电机设计的现实分析模型

感应电机的设计与永磁同步电机（PMSM）总体相似，但也存在细微差异。在进行感应电机设计时，有特定的设计主题、选定的变量以及技术约束。

1.1 设计主题

设计主题中通常给定的参数如下：
- 基础连续功率 (P_b) 或额定功率 (P_n)
- 基础速度 (n_b)
- 额定电压 (V_n)
- 相数 (m)
- 过载系数 (k_l)

若电机设计为无电力电子设备运行，规格列表中需包含最小启动转矩和最大直接电网连接启动电流。对于变速应用，规格中还需添加最大速度 (n_{max}) 和最大速度下的功率 (P_{max})。其他常见约束包括：
- (P_b) 和 (n_b) 下的效率
- 额定功率和速度下的功率因数 (pf_{spa})
- 材料绝缘等级（允许温度）
- 对外来物体的防护等级
- 有源材料的总初始成本

1.2 设计变量

设计变量可由设计师直接选择并迭代更改，或通过优化算法进行调整，以满足设计主题要求。主要设计变量有：
- 线性电流密度（电线性负载） (J_l)（kA/m）
- 气隙磁通密度 (B_{agsp})（T）
- 电机形状因子——铁芯长度堆叠与极距之比 (\lambda_c)
- 定子电流密度 (J_s)（A/mm²）
- 转子电流密度 (J_r)（A/mm²）
- 定子齿磁通密度 (B_{st})（T）
- 定子轭磁通密度 (B_{sy})（T）
- 转子齿磁通密度 (B_{rt})（T）
- 转子轭磁通密度 (B_{ry})（T）
- 每极每相定子槽数 (q_1)
- 定子槽开口宽度 (s_{os})（mm）
- 转子槽开口宽度 (s_{or})（mm）
- 定子齿顶高度 (h_{s4})（mm）
- 转子齿顶高度 (h_{r1})（mm）
- 定子线圈跨距 (c_{Span})

以下参数根据可用技术和电机尺寸选择：
- 电流并联路径数 (a_1)
- 绕组层数 (n_L)
- 气隙 (g)
- 转子铁芯长度与定子铁芯长度之差 (d_{lr})
- 离开槽的直端连接长度 (l_{f1})
- 端部线圈连接与框架之间的轴向距离 (l_{f2})
- 铁芯堆叠系数 (k_{stk})
- 槽填充系数 (k_{sf})
- 转子端环与转子导条电流密度之比 (k_{Jendr2Jr})
- 转子槽斜度（以转子槽距数计） (r_{ss})
- 槽楔角度 (a_w)
- 槽绝缘厚度 (slotInsulThick)
- 槽封闭（楔）厚度 (slotClosureThick)
- 每匝基本导体数 (n_{ce})
- 定子绕组的假定平均温度 (T_{w1})
- 转子绕组（笼型）的假定平均温度 (T_{w2})
- 最大允许绕组温度 (T_{wmax})（取决于绝缘等级）
- 冷却液（或环境）的最高温度 (T_{amb})
- 热传递系数 (\alpha_t)
- 框架散热片和冷却液速度使冷却表面增加的系数 (k_{ff})
- 铁损系数（由于磁场不均匀，铁损更大） (k_{pfe})

此时还需选择定子和转子磁芯的软磁材料以及绕组材料（转子用铜或铝），并进行机械损耗估算。对于感应电机，使用最小机械可行气隙，计算开始时，气隙 (g) 可按以下公式选择：
[
g =
\begin{cases}
0.1 + 0.2\sqrt[3]{P_n} & \text{if } p_1 = 1 \
0.1 + 0.1\sqrt[3]{P_n} & \text{if } p_1 \geq 2
\end{cases}
]
式中，气隙 (g) 的单位为毫米，额定功率 (P_n) 的单位为千瓦。

1.3 感应电机尺寸计算

感应电机设计从一些准备计算开始，例如使用选定变量和约束计算电网视在功率 (S_n)。然后计算电机常数和定子内径：
[
S_n = \frac{P_n}{\eta_{spec} \cdot pf_{spec}}
]
绕组系数 (k_w) 由区域系数 (f_{ws}) 和节距系数 (k_{chs}) 计算得出，使用与永磁电机相同的关系式：
[
C_0 = \frac{\pi^2}{\sqrt{2}} B_{agsp} J_l k_w
]
[
D_{si} = 1000 \cdot \sqrt[3]{\frac{60 p_s}{\pi n_n} \cdot \frac{S_n}{\lambda_c C_0}} \quad (mm)
]

极距 (\tau) 和定子铁芯长度 (l_{c1}) 的计算方法与永磁同步电机相同，使用内径 (D_{si})。定子和转子轭宽度分别为：
[
h_{sy} = \frac{\tau_p B_{agsp}}{\pi B_{sy}}
]
[
h_{ry} = \frac{\tau_p B_{agsp}}{\pi B_{ry}}
]

定子槽数、定子槽距和齿宽计算如下：
[
N_{ss} = q_1 m \cdot p_1
]
[
\tau_{ss} = \frac{\pi D_{si}}{N_{ss}}
]
[
w_{st} = \frac{B_{agsp}}{B_{st}} \tau_{ss}
]

接着计算极磁通 (\Psi_p)、每相匝数 (N_1) 的第一近似值和每线圈匝数 (s_{b1})：
[
\Psi_p = \frac{2}{\pi} B_{agsp} \tau_p l_c
]
[
N_1 = \frac{V_{fn}}{\pi \sqrt{2} f_n f_w \Psi_p}
]
[
s_{b1} = \frac{N_1 a_1}{p_1 q_1 n_L}
]

每线圈匝数应为整数，将计算值 (s_{b1}) 四舍五入到最接近的整数 (s_b)。若最接近的整数为零，则每线圈使用一匝。然后重新计算每相匝数 (N_1) 和电机铁芯长度 (l_c)：
[
N_1 = \frac{s_b q_1 p_1 n_L}{a_1}
]
[
l_c = \frac{s_{b1}}{s_b} l_{c1}
]

定子槽尺寸的计算方法与永磁同步电机相同。

1.3.1 转子设计

转子槽数根据极数和定子槽数（每极每相槽数）选择，以避免大的同步寄生转矩和径向力。下表给出了最常用的定子和转子槽数对：
| 极对数 | (q_1) | 转子槽数 |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | 4 | 18 20 22 28 30 33 34 |
| 1 | 6 | 25 27 28 29 30 43 |
| 2 | 2 | 16 18 20 30 33 34 35 36 |
| 2 | 3 | 24 28 30 32 34 45 48 |
| 2 | 4 | 30 36 40 44 57 59 |
| 2 | 5 | 36 42 48 50 70 72 74 |
| 2 | 6 | 42 48 54 56 60 61 62 68 76 82 86 90 |
| 3 | 2 | 20 22 28 44 47 49 |
| 3 | 3 | 34 36 38 40 44 46 |
| 3 | 4 | 44 46 50 60 61 62 82 83 |
| 4 | 2 | 26 30 34 35 36 38 58 |
| 4 | 3 | 42 46 48 50 52 56 60 |
| 6 | 2 | 69 75 80 |
| 6 | 2.5 | 86 87 93 94 |

计算转子外径 (D_{ro})、转子槽距 (\tau_{rs}) 和转子齿宽 (w_{rt})：
[
D_{ro} = D_{si} - 2g
]
[
\tau_{rs} = \frac{\pi D_{ro}}{N_{rs}}
]
[
w_{rt} = \frac{B_{agsp}}{B_{rt}} \tau_{rs}
]

将转子槽开口与最大可行转子槽开口进行比较，若前者较大，则将其调整为最大可行值。

1.3.2 定子槽尺寸

定子槽用于容纳裸线圈的面积 (A_{Cu})、槽面积 (A_{ss})、槽有效高度 (h_{s1})、总高度 (h_{sOA}) 和槽宽度 (w_{s1}) 计算如下：
[
A_{Cu} = \frac{\pi D_{si} J_l}{N_{ss} J_s}
]
[
A_{ss} = \frac{A_{Cu}}{k_{sf}}
]
[
h_{s1} = \frac{-w_{s2} + \sqrt{w_{s2}^2 + 4 A_{ss} \tan(\frac{\alpha_{ss}}{2})}}{2 \tan(\frac{\alpha_{ss}}{2})}
]
[
h_{sOA} = h_{s1} + h_{s2} + h_{s3} + h_{s4}
]
[
w_{s1} = w_{s3} + 2 (h_{s1} + h_{s2} \tan(\frac{\alpha_{ss}}{2}))
]

定子外径为：
[
D_{s0} = D_{si} + 2 (h_{sOA} + h_{sy})
]

在之前的几何计算中，会涉及不同的数学运算，有时由于输入参数的不良关联，可能会得到无意义的负值或复杂值。若计算步骤逐个进行，当观察到此类无用值时，可立即停止计算并选择其他初始变量。使用计算机代码计算时也可采用相同方法，但当无用几何值分组验证时，计算机代码会更简单。此时可验证 (R_{r1})、(h_{r2}) 和 (h_{r3}) 是否为实数，以及 (D_{ri})、(s_{TeethAlpha})、(h_{s3})、(w_{s3})、(R_{r1})、(h_{r2})、(h_{r1})、(R_{r2})、(w_{r2}) 是否大于某些最小值。若验证失败，遗传优化算法会生成新变量并重复上一步，直到所有参数通过测试。对于 Hooke - Jeeves 算法，将最高值赋给目标函数（跳过所有参数计算）。因此，对于 Hooke - Jeeves 算法，拥有兼容的优化变量初始值很重要，否则计算代码结果将是错误信息。所有定子和转子几何尺寸在所有检查值通过测试后进行计算。

1.3.3 绕组端部连接长度

定子绕组的端部连接长度 (l_f) 计算时，将端部线圈视为平均直径等于线圈平均开口的半圆，并加上线圈端部连接的右侧部分 (l_{f1})：
[
l_f = \frac{\pi}{2} k_y \tau_p (1 + \frac{h_{sOA}}{D_{si}}) + 2 l_{f1}
]

绕组定子长度 (l_{ff}) 近似为：
[
l_{ff} = l_c + l_{ff} + k_y + \tau_p (1 + \frac{h_{sOA}}{D_{si}})
]

转子端部连接轴向长度根据其高度（等于转子槽总高度 (h_{rOA})）、环电流 (I_{er}) 和转子环中的电流密度（与转子导条电流密度 (J_r) 成正比，比例因子为 (k_{Jr})）计算：
[
I_{er} = \frac{I_{rb}}{2 \sin(\frac{p \pi}{2 N_{rs}})}
]
[
A_{Ring} = \frac{I_{er}}{k_{Jr} J_r}
]
[
h_{Ring} \approx h_{rOA}
]
[
w_{Ring} = \frac{A_{Ring}}{h_{Ring}}
]

无轴转子的惯性为：
[
J_{ir} = \frac{1}{8} ((D_{ri}^2 + D_{rc}^2) m_{ry} + (D_{rc}^2 + D_{ro}^2) (m_{rt} + m_{rb}) + ((D_{ri} - 2 h_{r1})^2 + (D_{ri} - 2 h_{r1} - 2 h_{Ring})^2) m_{ring})
]

1.4 感应电机参数

定子绕组电阻为：
[
R_{s0} = \frac{s_b q_1 p n_L (L_c + l_{soh})}{A_{sb} a_1^2} \rho_{T_w}
]

转子电阻分别计算转子导条和短路环的电阻，然后折算到定子绕组：
[
R_{rb} = \frac{\rho_{2 T_w} l_{rc}}{A_{r slot}} \quad ; \quad \rho_{2 T_w} \text{ - 转子电阻率}
]
[
R_{Ring} = k_{r Ring} \cdot \frac{\rho_{2 T_w} \pi D_{m Ring}}{A_{Ring} N_{rs}}
]
式中，(D_{m Ring}) 为短路环的平均直径，(k_{r Ring}) 为转子环到转子导条的折算系数。转子环电阻的表达式是考虑等效损耗计算得出的：
[
k_{r Ring} = \frac{1}{2 \sin(\frac{p_1 \pi}{N_{rs}})}
]

短路环的横截面积尺寸与转子槽距相当，短路环是一个相当大的导体，其实际电阻不等于计算电阻。在一些书籍中，这种差异包含在折算系数中，该系数被视为经验系数。最终，转子等效电阻为：
[
R_{r} = (R_{rb} + R_{r Ring}) (\frac{N_1}{k_w k_{wr}})^2 \frac{m}{N_{rs}}
]

通常，为减少转矩脉动和噪声，转子导条会采用斜槽。转子绕组系数 (f_{wr}) 根据斜槽比 (r_{sk})（转子槽斜度除以转子槽距）计算，斜槽比由设计师作为初始参数给出：
[
f_{wr} = \frac{2 \tau_p \sin(\frac{r_{sk} \pi \tau_{rs}}{2 \tau_p})}{r_{sk} \pi \tau_{rs}}
]

磁化电感取决于磁化电流。考虑磁芯的磁化曲线，计算磁化电流与磁化磁通的关系较为简单。开始时，考虑气隙磁通密度的一个值（或曲线的几个值）。使用磁管电路规则计算定子齿、定子轭、转子齿和转子轭中的磁通密度。通过插值计算使用磁化曲线的磁场密度，然后得出产生该磁场所需的磁动势：
[
V_m = V_{mag} + V_{mst} + V_{msy} + V_{mrt} + V_{mry}
]
[
V_{mag} = \frac{B_{ag}}{\mu_0} k_C g
]
式中，(k_C) 为卡特系数，它是分别为定子和转子计算的卡特系数 (k_{C1}) 和 (k_{C2}) 的乘积。定子和转子齿及轭的磁动势计算方法与永磁同步电机类似。

极磁通 (\Phi) 由下式给出，其中 (k_f) 为气隙磁通密度分布的形状因子。对于不饱和磁芯，形状因子等于 (\frac{\pi}{2})，当磁芯饱和时，形状因子如图所示减小。形状因子 (k_f) 与定子齿饱和因子 (k_{ts}) 的关系为：
[
k_{ts} = 1 + \frac{V_{mst} + V_{mrt}}{V_{mag}}
]
[
\Phi = \frac{\tau_p}{k_f} l_c B_{ag}
]

相气隙磁链 (\Psi_m)、磁化电流 (I_m) 和电感 (L_m) 分别为：
[
\Psi_m = N_1 k_w \Phi
]
[
I_m = \frac{\pi p_1 V_m}{m \cdot N_1 f_w}
]
[
L_m = \frac{\Psi_m}{I_m}
]

也可计算循环磁化电感的不饱和值 (L_{m0})：
[
L_{m0} = \frac{2 \mu_0 m (N_1 k_w)^2}{\pi^2} \frac{\tau_p l_c}{p_1 k_C g}
]

定子漏电感的计算考虑槽、端部连接和差分磁导。若定子槽的形状和端部连接分布与永磁同步电机定子相同，则定子槽磁导使用相同的表达式，端部连接磁导使用相应表达式。定子差分磁导为：
[
\lambda_{sd} = 0.3 \rho_{d1} k_{01} \sigma_{d1} (q_1 k_w)^2 \frac{\tau_{ss}}{k_C g}
]
式中：
[
k_{01} = 1 - 0.033 \frac{o_{ss}^2}{g \tau_{ss}}
]
[
\sigma_{d1} = (\frac{\sin(\frac{\pi}{6 q_1})}{\sin(\frac{y_c \pi}{2})})^2 \sum_{u = 6 k \pm 1, k \geq 1} (\frac{\sin(\frac{\nu y_c \pi}{2})}{\sin(\frac{\nu \pi}{6 q_1})})^2
]
(\rho_{d1}) 在转子导条无斜度时如图 15.3a 所示，在转子导条斜度等于转子槽距时如图 15.3b 所示。

最终，定子漏电感 (L_{s \sigma}) 为：
[
L_{s \sigma} = 2 \mu_0 \frac{N_1^2}{p_1 q_1} (\lambda_{ss} + \lambda_{sd} + \lambda_{s0}) l_c
]

当前转子槽形状的转子槽磁导为：
[
\lambda_{rs} = \frac{\pi}{6} + \frac{2 h_{r3}}{3 (w_{r1} + w_{r2})} + \frac{h_{r1}}{o_{rs}}
]

转子端环磁导为：
[
\lambda_{r0} = k_{r Ring}^2 \cdot \frac{D_{w Ring}}{l_{rc} \cdot N_{rs}} \cdot \log(\frac{4.7 D_{w Ring}}{h_{Ring} + 2 w_{Ring}})
]

转子差分磁导为：
[
\lambda_{rd} = 0.3 k_{02} \cdot \tau_{d2} \cdot (\frac{N_{rs}}{6 p_1} \cdot f_{wr})^2 \cdot \frac{\tau_{rs}}{k_c \cdot g}
]
式中：
[
k_{02} = 1 - 0.033 \cdot \frac{o_{rs}^2}{g \cdot \tau_{rs}}
]
(\sigma_{d2}) 系数如图 15.4 所示，与转子中每极和定子相的平均槽数 (q_2) 有关：
[
q_2 = \frac{N_{rs}}{6 p_1}
]

最终，转子漏电感为：
[
L_{r \sigma} = 4 \mu_0 m (N_1 \cdot k_w)^2 \frac{1}{N_{rs}} \cdot (\lambda_{rs} + \lambda_{rd} + \lambda_{r0}) l_{rc}
]

电机性能使用稳态电路模型进行计算。

2. 基于遗传算法的感应电机优化设计

在介绍了较为完整的感应电机模型后，进行一个额定功率为 22 kW、基频为 50 Hz 的三相两极短路转子感应电机的设计练习。以总电机成本为目标函数，优化变量的最小值和最大值如下表所示：
| 优化变量 | 最小值 | 最大值 | GA | GA1 | HG | 单位 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| (J_l) | 12 | 40 | 28 | 24.2 | 27.31 | kA/m |
| (B_{agsp}) | 0.4 | 0.85 | 0.63 | 0.64 | 0.63 | T |
| (B_{st}) | 1.2 | 2.1 | 2.46 | 1.66 | 2.1 | T |
| (B_{sy}) | 1 | 2 | 1.74 | 1.62 | 1.7 | T |
| (B_{rt}) | 1.2 | 2.1 | 2.34 | 2.42 | 1.75 | T |
| (B_{ry}) | 1 | 2 | 1.84 | 1.88 | 1.56 | T |
| (J_s) | 2.5 | 8 | 2.8 | 3.2 | 3.52 | A/mm² |
| (J_r) | 2 | 7.5 | 2.2 | 2 | 3.62 | A/mm² |
| (h_{s4}) | 0.3 | 2 | 0.8 | 2.1 | 1.1 | mm |
| (s_{os}) | 0.5 | 2 | 1.4 | 0.8 | 1.2 | mm |
| (h_{r1}) | 0.3 | 2 | 0.5 | 0.9 | 1.2 | mm |
| (s_{or}) | 0.3 | 2 | 1.2 | 0.3 | 1.1 | mm |
| (L_{cpertau}) | 0.5 | 2 | 0.9 | 1 | 1 | |
| (q_1) | 2 | 6 | 5 | 5 | 4 | |
| (c_{Span}) | 0.66 | 1 | 0.73 | 0.8 | 0.83 | |
| (r_{Slots}) | 18 | 18 | 18 | | | |

技术约束可在感应电机优化设计 MATLAB 代码的输入文件（im1.m）中找到。表中还包含三种情况下优化设计练习的最终值：GA（种群为 100 个成员，进化 200 代的遗传算法）、GA1（种群为 30 个成员，进化 50 代的遗传算法）和 Hooke - Jeeves 算法（HG）。优化目标成本函数为电机寿命成本，包括初始有源材料成本和能量损失成本。

主要优化变量特定电负载 (J_l) 和气隙磁通密度 (B_{agsp}) 在三种比较情况下值相似。对于 GA1，特定电负载较小，但 50 代的数量太少，无法找到最优电机。遗传算法中使用的优化变量代码允许值大于最大边界，如转子和定子轭磁通密度所示。定子和转子齿中的特定磁通密度对于常见的磁芯（如“M19”）似乎过大。实际上，由于在如此大的饱和情况下，气隙磁通密度的形状分布从理想值 1.57 降至高饱和时的 1.1，实际磁通密度较小。在理想（正弦）磁通分布下，齿中峰值为 2.5 T 的磁通密度产生相同的极磁通，齿中所需的磁通密度小于 1.8 T。

每一代的成本函数以平均值、最小值和最大值为特征，其演变如图所示。属于种群中最佳电机的最小值单调递减，成本函数的平均值也趋于下降。

最佳成员的代表性优化变量在 200 代中的演变如图所示。线性电负载和定子及转子中的电流密度有几个离散值，但在最佳成员性能提高时，未观察到明显趋势。此外，转子电流只有三个离散值，且第一个值仅在第一代出现。

气隙磁通密度也显示出离散值，但从第一代到最后一代缓慢增加。目标函数的降低与气隙磁通密度的增加之间似乎存在良好的相关性。当最佳候选解决方案改善时，定子和转子齿中的磁通密度也会增加。

铁芯长度与极距之比以及线圈跨距与极距之比显示出随机变化，有几个离散值，然后在最后一代保持不变。定子和转子槽数也只有几个离散值，并且在最后几代保持不变。

最后一代成员的成本函数和优化变量分布可显示遗传算法的进化潜力。在我们的例子中，成本函数仍有较大变化。成员按成本函数递增的顺序排序，可观察到特定电负载与成本函数之间无相关性。最后一代仅保留了特定电负载的几个离散值，但其分布仍覆盖较大区域。定子电流密度分布仅包含几个值，且其分布与成本函数无关，它们位于电流密度的最低限制处。然而，转子电流是个例外，对于三个成员，转子电流密度较大，但成本函数值也较大。气隙磁通密度与最后一代的成本函数相关，最大值对应成本函数的小值。气隙磁通密度只有几个离散值，覆盖范围较小。如果目标函数的全局最小值位于气隙磁通密度的较大值处，则该成员的进一步进化可能非常缓慢，因为只有良好的突变才能产生较大的气隙磁通。我们还可以看到，较大的齿磁通密度可以产生更好的目标函数。

铁芯长度与极距之比以及线圈跨距与极距之比减少到几个值，其分布似乎与成本函数无关。对于定子槽数，五个可能值中仅保留了两个，这些值与转子槽数的三个值组合。槽数与成本函数之间没有明显的相关性。然而，我们可以得出结论，定子中的 24 或 30 个槽比 18 个（可能太少）和 36 个（可能太多）更好，因为在最后一代（性能比第一代更好）中没有选择这两个值。

转子和定子直径的演变如图所示，有几个离散值，覆盖的变化范围较小。定子和转子槽尺寸的变化如图所示，槽高度的变化范围与其值相比适中。

功率损耗和效率的演变如图所示，铜损耗呈下降趋势，而电机效率呈上升趋势，变化是离散的且非单调的。功率因数的演变也显示出非单调的上升趋势。

电机及其定子和转子重量的演变如图所示，绕组和磁芯组件重量的演变也如图所示。我们无法观察到重量演变与成本函数演变之间的直接相关性，成本函数单调下降。

成本函数的组成部分，如铜、叠片、笼型和不必要的损耗能量也如图所示。初始成本包含有源材料（如铜、叠片和笼型）的重量成本。总成本（目标函数）包含初始成本和能量损失成本，还可能包含超温超过最大允许值的惩罚成本，以及启动电流超过最大允许值（在我们的例子中，是额定电流的六倍）的惩罚成本。图中显示的是每一代的最佳成员，未显示惩罚成本。

3. 基于 Hooke - Jeeves 算法的感应电机优化设计

使用与遗传算法方法相同的优化变量向量和目标函数（总成本 (C_E)）来实现 Hooke - Jeeves 优化算法。在优化过程中，特定电负载有小步变化，最终值接近遗传算法方法获得的最终值。从图中还可以看出，定子和转子电流密度下降。

气隙磁通密度在优化过程中保持不变，但其初始值接近遗传算法优化得到的最优值。定子齿磁通向其最大值增加，其他磁芯磁通密度也有增加的趋势，但未达到上限。

铁芯长度与极距之比下降约 25%，而线圈跨距比保持不变。定子槽数保持在 24 个，与遗传算法优化最后一代出现的值相同。转子槽数在第一个优化步骤从 34 个减少到 18 个，这也是遗传算法找到的最优值。

转子和定子直径的演变如图所示，定子内径 (s_{Di}) 和转子外径 (r_{Do}) 略有增加，而定子外径 (s_{Do}) 增加稍多。因此，定子槽高度也增加。

铜损耗减少，而铁损耗略有增加，因此效率 (\eta_{tan}) 增加，功率因数下降到可接受的值。

由于定子重量的增加，电机重量增加约 10 kg，定子重量的增加主要是由于额外的定子绕组（铜）。

目标函数持续下降，第一个下降步骤是由于消除了惩罚成本。在第一个和第二个解决方案之间，电流密度和电机直径没有变化，而定子齿顶 (h_{s4}) 显著增加，因此可以得出启动电流惩罚已被消除的结论。因此，尽管最初有所增加，但由于效率提高，成本函数继续下降。

4. 电机性能比较

电机性能使用电路模型计算，同时考虑磁饱和计算磁化电感。比较了使用遗传算法（GA）和 Hooke - Jeeves 最优算法（HG）设计的电机的性能特征。

4.1 磁链与磁化电流关系

两种电机的磁链与磁化电流关系如图所示。在小电流（5 A）时，GA 电机的磁链比 HG 电机略大；在中、大电流时，HG 电机的磁通比 GA 电机大。因此，HG 电机比 GA 电机更饱和。从磁化电感与磁化电流的关系以及气隙磁通密度与磁化电流的关系也可以得出相同的结论。

4.2 饱和因子与磁化电流关系

饱和因子与磁化电流的关系如图所示。尽管定子和转子齿中的特定磁通密度较大，但定子轭对饱和因子的贡献最大，这与两极电机中磁路通过定子轭较长的情况相同。

4.3 转矩与转差率关系

两种电机的转矩与转差率关系如图所示。GA 电机的峰值转矩和临界转差率比 HG 电机小，GA 电机的启动转矩也比 HG 电机小。GA 电机较小的转子电阻解释了这些特征。

4.4 启动电流

HG 电机的启动电流比 GA 电机略小。通过对启动电流超过允许值的电机施加惩罚成本，获得了启动电流与额定电流的可接受比率。如果没有这种惩罚，优化算法会产生启动电流高达额定电流 12 倍的电机，此类电机不适合直接连接到电网，但在变速驱动中具有较大的峰值转矩，意味着在恒定功率下有较大的速度范围。

4.5 输入输出功率、效率和功率因数与转差率关系

输入和输出功率与转差率的关系以及效率和功率因数与转差率的关系如图所示。

4.6 电流与转矩、效率和功率因数与转矩关系

电流与转矩的关系以及效率和功率因数与转矩的关系如图所示。

4.7 设计电机的主要尺寸和参数

设计电机的主要尺寸和参数如下表所示：
| 参数 | GA1 | GA2 | HG | 单位 | 注释 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| (D_{so}) | 273 | 269 | 252 | mm | 定子外径 |
| (D_{si}) | 156 | 152.2 | 146 | mm | 定子内径 |
| (D_{ri}) | 52 | 52 | 52 | mm | 转子内径 |
| (L_c) | 192.2 | 223.5 | 244.5 | mm | 定子铁芯长度 |
| (g) | 0.65 | 0.65 | 0.65 | mm | 气隙 |
| (h_{sOA}) | 30.5 | 28.2 | 26.4 | mm | 定子槽高度 |
| (h_{s1}) | 26.7 | 23.5 | 22.1 | mm | 定子槽主高度 |
| (h_{s3}) | 2.3 | 2 | 2.6 | mm | 定子槽楔高度 |
| (h_{sy}) | 28.1 | 30.2 | 26.6 | mm | 定子轭高度 |
| (w_{st}) | 4.2 | 6.1 | 5.7 | mm | 定子齿宽度 |
| (N_1) | 60 | 50 | 48 | | 每相匝数 |
| (h_{rOA}) | 24.5 | 23.7 | 17.3 | mm | 转子槽高度 |
| (w_{r1}) | 16.1 | 15.7 | 12.9 | mm | 转子槽宽度 |
| (w_{r2}) | 12.3 | 12.3 | 11.2 | mm | 转子槽宽度 |
| (h_{ry}) | 26.7 | 25.9 | 29.2 | mm | 转子轭高度 |
| (b_{rt}) | 7.5 | 7.2 | 9.3 | mm | 转子齿宽度 |
| (Weight_{StCu}) | 23.868 | 19.234 | 19.536 | kg | 定子绕组重量 |
| (Weight_{IronUsed}) | 108.391 | 122.337 | 117.475 | kg | 加工铁重量 |
| (Weight_{StIron}) | 37.58 | 47.671 | 42.308 | kg | 定子铁重量 |
| (Weight_{RtIron}) | 9600.13 | 10.722 | 13.76 | kg | 转子铁重量 |
| (Weight_{Cage}) | 7.161 | 7.58 | 4.861 | kg | 转子笼重量 |
| (Weight_M) | 84.31 | 92.07 | 87.261 | kg | 电机重量（有源材料） |
| (I_{1n}) | 39.49 | 40.24 | 38.58 | A | 额定电流（rms） |
| (V_{fn}) | 220 | 220 | 220 | V | 相额定电压（rms） |
| (P_{cu}) | 837.56 | 845.16 | 956.75 | W | 铜损耗 |
| (P_{fe}) | 346.54 | 382.59 | 386.81 | W | 铁损耗 |
| (P_{mec}) | 264 | 264 | 264 | W | 机械损耗（(P_n) 的 1.2%） |
| (\eta_{tan}) | 93.82 | 93.65 | 93.19 | % | 额定效率 |
| (\cos\phi_n) | 0.89 | 0.87 | 0.91 | | 额定功率因数 |
| (s_R) | 0.113 | 0.116 | 0.112 | (\Omega) | 定子直流电阻 |
| (r_R) | 0.08 | 0.071 | 0.12 | (\Omega) | 转子直流电阻 |
| (R_{Fe}) | 372 | 332 | 340 | (\Omega) | 等效铁损耗电阻 |
| (L_{m0sat}) | 53.17 | 54.959 | 62.07 | mH | 额定电压下的磁化电感 |
| (L_{sl}) | 1.632 | 1.774 | 1.449 | mH | 定子漏电感 |
| (L_{rl}) | 1.544 | 2.287 | 1.537 | mH | 转子漏电感 |
| (r_J) | 0.075 | 0.079 | 0.074 | kgm² | 转子惯性 |
| (Cuc) | 238.677 | 192.338 | 195.363 | USD | 定子绕组成本 |
| (lamc) | 541.957 | 611.685 | 587.374 | USD | 铁成本 |
| (cagec) | 7.161 | 7.58 | 4.861 | USD | 加工铁成本 |
| (pmwc) | 421.552 | 460.352 | 436.304 | USD | 笼成本 |
| (icost) | 1209.348 | 1271.955 | 1223.903 | USD | 重量惩罚成本 |
| (energyc) | 2172.148 | 2237.62 | 2411.335 | USD | 初始成本 |
| (tcost) | 3381.496 | 3509.575 | 3635.238 | USD | 总成本（目标函数） |
| (simtime) | 286.047 | 23.343 | 5.735 | s | 仿真时间（Intel 双核） |

Hooke - Jeeves 算法的优化步骤较少，所需计算时间也少得多。对于 Hooke - Jeeves 算法，仅需 5.73 s，而对于种群为 100 个成员、进化 200 代的遗传算法，仿真时间达到 286 s。Hooke - Jeeves 算法陷入局部最小值，目标函数为 3635 美元，而遗传算法找到的目标函数为 3381 美元，约小 5%。HG 和 GA 的初始成本似乎相似。使用较少的种群成员（30 个）和较少的代数，遗传算法的优化时间减少，但目标函数与 Hooke - Jeeves 方法相当。从几个随机初始变量向量开始 Hooke - Jeeves 算法，应能增加找到全局最优解的概率，且计算时间仍显著低于遗传算法。

5. 总结

综上所述，本文进行了以下工作：
- 提供了一个较为完整的感应电机分析模型，包括磁饱和。
- 将该分析模型分别纳入基于遗传算法和 Hooke - Jeeves 算法的最优设计计算机代码中。
- 以总电机成本为成本函数，对同一电机进行了最优设计，并对结果进行了详细说明和讨论。
- 两种最优设计算法都取得了良好的结果，但 HG 算法的计算时间少 50 倍。
- 为避免陷入局部最优，HG 算法需从几个（5 - 8 个）初始变量集开始。
- 最优设计后，可使用有限元法（FEM）进行试验验证。
- 将最优设计代码集成到基于遗传算法和 HG 的完整设计代码中，还有待进一步研究。

5.1 设计流程总结

为了更清晰地展示感应电机优化设计的过程，下面用 mermaid 流程图来呈现整体流程：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(确定设计主题参数):::process
    B --> C(选择设计变量):::process
    C --> D(计算电机尺寸):::process
    D --> E{几何值验证}:::decision
    E -->|通过| F(计算电机参数):::process
    E -->|不通过| C(选择设计变量):::process
    F --> G(选择优化算法):::process
    G --> H(优化设计):::process
    H --> I(计算电机性能):::process
    I --> J{是否满足要求}:::decision
    J -->|是| K([结束]):::startend
    J -->|否| G(选择优化算法):::process

从流程图可以看出，感应电机优化设计是一个循环迭代的过程。首先确定设计主题参数，如功率、速度、电压等，然后选择设计变量，进行电机尺寸计算。在计算过程中，需要对几何值进行验证，确保其合理性。若验证不通过，则重新选择设计变量。之后选择优化算法（如遗传算法或 Hooke - Jeeves 算法）进行优化设计，计算电机性能。如果性能不满足要求，则再次选择优化算法进行迭代，直到满足设计要求为止。

5.2 优化算法对比

下面通过表格来对比遗传算法（GA）和 Hooke - Jeeves 算法（HG）的特点：
| 算法 | 计算时间 | 全局寻优能力 | 初始值要求 | 适用场景 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 遗传算法（GA） | 长，如种群为 100 个成员、进化 200 代时，仿真时间达 286 s | 较强，能在较大的搜索空间中寻找全局最优解 | 相对宽松 | 问题复杂、搜索空间大，对全局最优解要求较高的情况 |
| Hooke - Jeeves 算法（HG） | 短，仅需 5.73 s | 较弱，易陷入局部最优 | 较高，需要兼容的初始值 | 问题相对简单，搜索空间较小，对计算时间要求较高的情况 |

从对比中可以看出，遗传算法虽然计算时间长，但全局寻优能力强，适合处理复杂问题；而 Hooke - Jeeves 算法计算时间短，但容易陷入局部最优，需要合适的初始值。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的优化算法。

5.3 电机性能参数对设计的影响

5.3.1 磁通密度的影响

磁通密度是感应电机设计中的重要参数，气隙磁通密度、定子和转子齿及轭中的磁通密度对电机性能有显著影响。气隙磁通密度的增加与目标函数的降低有良好的相关性，但在遗传算法中，气隙磁通密度的离散值覆盖范围小，若目标函数的全局最小值在较大气隙磁通密度处，进一步进化可能较慢。而定子和转子齿中的磁通密度过大，对于常见磁芯可能不合适，但在高饱和情况下，实际磁通密度会变小。

5.3.2 电流密度的影响

线性电负载和定子、转子中的电流密度在优化过程中有离散值变化。定子电流密度分布与成本函数无关，位于电流密度的最低限制处；而转子电流密度较大时，成本函数值也较大。因此，在设计中需要合理选择电流密度，以平衡成本和性能。

5.3.3 槽数的影响

定子和转子槽数对电机性能也有影响。定子和转子槽数只有几个离散值，且在最后几代保持不变。通过对比不同槽数组合与成本函数的关系，发现 24 或 30 个定子槽比 18 个或 36 个更合适，这为槽数的选择提供了参考。

5.4 未来展望

感应电机优化设计是一个不断发展的领域，未来可以在以下几个方面进行深入研究和改进：
- 多目标优化 ：目前以总电机成本为目标函数进行优化设计，未来可以考虑多个目标，如效率、功率因数、启动性能等，进行多目标优化，以获得更全面的最优解。
- 算法改进 ：进一步改进遗传算法和 Hooke - Jeeves 算法，提高算法的效率和寻优能力。例如，结合其他智能算法，如粒子群算法、蚁群算法等，开发更高效的混合优化算法。
- FEM 验证与集成 ：在最优设计后，使用有限元法（FEM）进行试验验证。未来可以将 FEM 验证集成到优化设计流程中，实现更精确的设计。
- 完整设计代码集成 ：将基于遗传算法和 Hooke - Jeeves 算法的最优设计代码集成到一个完整的设计代码中，提高设计的自动化程度和效率。

总之，感应电机优化设计是一个具有挑战性和发展潜力的领域，通过不断的研究和创新，可以提高感应电机的性能和效率，满足不同应用场景的需求。