19、几何计算中的向量运算与投影方法

几何计算中的向量运算与投影方法

1. 非平行直线的相交与距离计算

1.1 理论基础

1.1.1 共面情况

两条非平行直线若共面则相交，可通过求解涉及向量笛卡尔（或其他）分量的线性方程组来计算交点。使用格拉斯曼内积时，会得到两个相互依赖的线性方程；使用外积时，线性系统可简化为两个独立方程。

设两条线段(b - a)和(s - r)的交点为(x)，引入两个标量参数(\alpha = (x - a) / (b - a))和(\beta = (x - r) / (s - r))，可得：
[x =
\begin{cases}
(1 - \alpha) a + \alpha b \
(1 - \beta) r + \beta s
\end{cases}
]
消去(x)得到向量方程：
[\alpha(b - a) - \beta(s - r) = r - a]

• 内积方法 ：
  用内积的点积形式分别乘以(s - r)和(b - a)，得到：
  [
  \begin{cases}
  \alpha(b - a) \cdot (s - r) - \beta(s - r) \cdot (s - r) = (r - a) \cdot (s - r) \
  \alpha(b - a) \cdot (b - a) - \beta(s - r) \cdot (b - a) = (r - a) \cdot (b - a)
  \end{cases}
  ]
  这是一个标量