[电路基础第七章]一阶电路

引言

本章研究两种简单的电路类型——RC电路和RL电路。它们的特点是一阶微分方程

无源

无源RC电路

假设在$t=0$时刻电容电压为$V_0$，电容逐渐放电，根据KCL：
$$i_C+i_R=C\frac{dv}{dt}+\frac{v}{R}=0$$整理得：
$$\frac{dv}{dt}+\frac{v}{RC}=0$$解得：$$v(t)=V_0{e}^{-t/RC}\text{\hspace{1em}(1)}$$

此时电路的响应出在电路本身在没有外部电源激发的条件下，称为自由响应

观察$(1)$式，电阻上的电压取决于$V_0$和$RC$，我们将$RC$即为$\tau$，称作时间常数，它表示响应衰减到初始值的$\frac{1}{e}$所需要的时间。在五个$\tau$后，电路响应会衰减到原来的$1\%$以下：

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无源RL电路

假设在$t=0$时刻电感电流为$I_0$，电感逐渐放电，根据KVL：
$$L\frac{di}{dt}+iR=0$$，解得：$$i(t)=I_0{e}^{-t/\tau },\tau =L/R$$

电阻上的电流取决于$I_0$和$L/R$。其衰减状态同RC电路。

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有源

RC电路的阶跃响应

激励可以是电压源或电流源

求电容两端的电压$v(t)$：
首先由于电容的特性：
$$v(0^{+})=v(0^{-})=V_0$$$V_0$是电容的初始电压值,根据KCL：$$C\frac{dv}{dt}-\frac{V_{s}u(t)-v}{R}=0$$解得：$$v(t)=[V_s+(V_0-V_s)e^{-t/\tau }]u(t),\tau =RC\text{\hspace{1em}(2)}$$电流：$$i(t)=C\frac{dv}{dt}=\frac{V_s-V_0}{R}{e}^{-t/\tau }u(t)$$
在$V_0=0$的情况下，电压和电流-t图像如下：

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观察$(2)$式，与$(1)$相比，$(2)$式多了一项：
$$V_s（1-e^{-t/\tau }）$$这一项显然是随着时间增大而衰减的，我们称为“强迫响应”，因为它是在外来的激励下产生的。这意味着：

全响应=自由响应+强迫响应

我们也可以将全响应拆解为：

全响应=稳态响应+暂态响应

无论哪种，最终的全响应（开关切换时间$t=0$）都有形式为：
$$v(t)=v(\infty )+[v(0)-v(\infty )]e^{-t/\tau }$$
当开关切换时间$t=t_0$：
$$v(t)=v(\infty )+[v(t_0)-v(\infty )]e^{-(t-t_0)/\tau }$$

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PS:上述通用形式只是在激励为阶跃函数的情况下。

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RL电路的阶跃响应

同RC电路，最终的全响应形式为：
i(t)={i(∞)+[i(t0)−i(∞)]e−(t−t0)/τ}u(t),τ=L/Ri(t)=\{i(\infty)+[i(t_0)-i(\infty)]e^{-(t-t_0)/\tau}\}u(t),\tau=L/Ri(t)={i(∞)+[i(t0​)−i(∞)]e−(t−t0​)/τ}u(t),τ=L/R