§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

　　本节重点:

　　掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；

　　掌握定理6.3.2的证明方法．

　　定理6.3.1　[Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．

　　证明(略)

　　定理6.3.2　空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．

　　证明　设C是空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点，任意选取，x,y∈X,x≠y,对于空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1． 由于C是X中一个连通子集，因此f（X）也连通．由于0，1∈f（X），因此f（X）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集．