近世代数--环同态--环的扩张定理

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

域的扩张定理用来将一已知的环扩大为某一具有特定性质的环。

$\bar{S}、R$是环，$\bar{S}\cap R=\varnothing ,\bar{\phi }:\bar{S}\to R$是单同态，
则

• $\exists S,S$是环，$S\cong R,\phi :S\to R$是同构，
• $S^{\prime }\le S,$
• 且$\phi |\bar{s}=\bar{\phi }$

证明：把已知环$S^{\prime }$扩大为环$S$

• 构造环$S$：

  • $S=(R-\bar{\phi }(\bar{S}))\cup \bar{S}$
    

  • 构造映射$\phi :S\to R$ φ ( x ) = { φ ˉ ( x ) , x ∈ S ˉ x , x ∉ S ˉ \varphi(x)=\left\{ \begin{aligned} \bar{\varphi}(x),x\in \bar{S}\\ x,x\notin \bar{S} \end{aligned} \right. φ(x)={