§2.6 基与子基

§2.6　基与子基

　　本节重点：

　　掌握基与子基的概念，点的邻域与基之间的关系；

　　掌握基、子基与开集的关系；

　　掌握如何用基表示开集．

　　在讨论度量空间的拓扑的时候，球形邻域起着基本性的重要作用．一方面，每一个球形邻域都是开集，从而任意多个球形邻域的并也是开集；另一方面，假设U是度量空间X中的一个开集．则对于每一个x∈U有一个球形邻域B（x，ε）U，因此．这就是说，一个集合是某度量空间中的一个开集当且仅当它是这个度量空间中的若干个球形邻域的并．因此我们可以说，度量空间的拓扑是由它的所有的球形邻域通过集族求并这一运算“产生”出来的．留意了这个事实，下面在拓扑空间中提出“基”这个概念就不会感到突然了．

　　定义2.6.1　设（X，T）是一个拓扑空间，B是T的一个子族．如果T中的每一个元素（即拓扑空间X中的每一个开集）是B中某些元素的并，即对于每一个U∈T，存在使得

　　

则称B是拓扑T的一个基，或称B是拓扑空间X的一个基．

　　按照本节开头所作的论证立即可得：

　　定理2.6.1　一个度量空间中的所有球形邻域构成的集族是这个度量空间作为拓扑空间时的一个基．

　　特别地，由于实数空间R中所有开区间构成的族就是它的所有球形邻域构成的族，因此所有开区间构成的族是实数空间R的一个基．

　　至于离散空间，它有一个最简单的基，这个基由所有的单点子集构成．

　　下面的定理为判定某一个开集族是否是给定的拓扑的一个基提供了一个易于验证的条件．

　　定理2.6.2　设B是拓扑空间（X，T）的一个开集族（即），则B是拓扑空间X的一个基当且仅当对于每一个x∈X和x的每一个邻域．

　　证明　设B是X的一个基，则

　　根据基的定义，

　　可知存在

　　这证明B满足定理中的条件．

　　另一方面，设定理中的条件成立．如果U是X中的一个开集，则对于每一个x∈U，

　　

　　因此，U是B中某些元素之并，从而B是X的一个基．

　　在度量空间中，通过球形邻域确定了度量空间的拓扑，这个拓扑以全体球形邻域构成的集族作为基．是否一个集合的每一个子集族都可以确定一个拓扑以它为基？答案是否定的．以下定理告诉我们一个集合的什么样的子集族可以成为它的某一个拓扑的基．

　　定理2.6.3　设X是一个集合，B是集合X的一个子集族（即
BP(X))．如果B满足条件：

　　（1）；

　　（2）如果,则对于任何

　　则X的子集族

　　T＝{UX|存在使得}

是集合X的惟一的一个以B为基的拓扑；反之，如果X的一个子集族B是X的某一个拓扑的基，则B一定满足条件（l）和（2）．

　　值得注意的是，如果集合X的子集族B满足条件：对于任意
∈B,有∈B．这时，B必然满足条件（2）．这种情形经常遇到．

　　证明　设X的子集族B满足条件（l）和（2）．我们先验证定理中给出的T是X的一个拓扑：

　　（1）根据条件（1），X∈T；由于,而B 所以∈T．

　　（2）我们先验证：如果∈B，则∈T这是因为根据条件（2），对于每一个x∈,存在,

　　由于

现在设

　　 成立．因此

　　

　　根据前说，上式中最后那个并集中的每一项都是B中某些元素之并，所以也是B中某些元素之并，因此

　　（3）设则

以上证明了T是集合X的一个拓扑．根据T的定义立即可见B是拓扑T的一个基．

　　假设集合X还有一个拓扑以B为它的一个基．根据基的定义，任何一个A必为B中某些元素的并，所以A∈T 这证明T,另一方面，由于B,所以如果A∈T则A是B中的某些元素之并，因此也是 中某些元素之并；由于是一个拓扑，所以A∈这又证明了T．因此T=．这说明以B为基的拓扑是惟一的．

　　最后证明定理的后半段．设B是X的某一个拓扑T*的一个基．由
X∈T*可知X必为B中的某些元素的并，故必为集族B之并．因此（1）成立．设和x∈．由于BT*．是x的一个开邻域，根据定理2.6.2，存在使得

　　,这证明条件（2）成立．

　　在定义基的过程中我们只是用到了集族的并运算，如果再考虑集合的有限交运算（注意拓扑只是对有限交封闭的，所以只考虑有限交），便得到“子基”这个概念．

　　定义2.6.2　设（X，T)是一个拓扑空间，是T的一个子族．如果的所有非空有限于族之交构成的集族，即

　　

　　是拓扑T的一个基，则称集族 是拓扑T的一个子基，或称集族是拓扑空间X的一个子基．

　　例2.6.2　实数空间R的一个子基．

　　实数集合R的一个子集族

　　={(a,∞)|a∈R}∪{(-∞,b)|b∈R}

　　是实数空间R的一个子基．这是因为是实数空间的一个开集族，并且的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族恰好就是所有有限开区间构成的族并上再并上{}，显然它是实数空间R的一个基．

　　定理2.6.4　设X是一个集合，是X的一个子集族（即
P(X))．如果则X有惟一的一个拓扑T以为子基．并且若令

　　

　　 则

　　证明　令B和T如定理中．容易验证B满足定理2.6.3中的条件（l）和（2），因此根据该定理，B是T的一个基，所以 是T的一个子基．

　　如果是X的一个拓扑，它以为一个子基，则根据子基的定义，以B为基．根据定理2.6.3中的惟一性，我们有 =T

　　映射的连续性可以通过基或子基来验证．一般说来，基或子基的基数不大于拓扑的基数，所以通过基或子基来验证映射的连续性，有时可能会带来很大的方便．

　　定理2.6.5　设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：

　　（l）f连续；

　　（2）拓扑空间Y有一个基B，使得对于任何一个B∈B，（B）是X中的一个开集；

　　（3）Y有一个子基,使得对于任何一个S∈原象(S)是X中的一个开集．

　　证明　条件（l）蕴涵（3）是显然的，因为Y的拓扑本身便是Y的一个子基．

　　条件（3）蕴涵（2）．设是Y的拓扑的一个子基,满足（3）中的要求．根据定义，

　　

是Y的拓扑的一个基．

　　对于任何,i＝1，2，…，n，其中n∈，我们有

　　

　　它是X中n∈个开集之交，因此是X中的一个开集．

　　条件（2）蕴涵（1）．设B是Y的拓扑的一个基，它满足（2）中的要求．如果U是Y中的一个开集，则

　　

是X中一族开集之并，所以是X中的一个开集．这证明f连续．

　　对于局部情形，也有类似于基和子基的概念．

　　定义2.6.3　设X是一个拓扑空间，x∈X．记为x的邻域系．的子族如果满足条件：对于每一个U∈，存在V∈，使得
VU，则称是点x的邻域系的一个基，或简称为点x的一个邻域基． 的子族如果满足条件：每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即是x的一个邻域基，则称此是点x的邻域系的一个子基，或简称为点x的一个邻域子基．

　　显然，在度量空间中以某一个点为中心的全体球形邻域是这个点的一个邻域基；以某一个点为中心的全体以有理数为半径的球形邻域也是这个点的一个邻域基．

　　邻域基和邻域子基的概念可以用来验证映射在一点处的连续性．

　　定理2.6.6　设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．

　　则以下条件等价：

　　（1）f在点x处连续；

　　（2）f(x)有一个邻域基，使得对于任何V∈；，原象(V)是x的一个邻域；

　　（3）f(x)有一个邻域子基 ，使得对于任何W∈，原象(W)是x的一个邻域．

　　证明(略)

　　基与邻域基,子基与邻域子基有以下关联．

　　定理2.6.7　设X是一个拓扑空间，x∈X．则

　　（1）如果B是X的一个基，则

　　={B∈B|x∈B}

　　是点x的一个邻域基；

　　（2）如果是X的一个子基，则

　　={S∈|x∈S}

　　是点x的一个邻域子基．

　　证明(略)