17、基于模块宽度的多项式图灵压缩：算法与问题求解

基于模块宽度的多项式图灵压缩：算法与问题求解

1. 引言

在图论问题的研究中，多项式图灵压缩（PTC）是一种重要的技术，它能够有效地处理一些复杂的图论问题。本文主要围绕基于模块宽度（mw）的多项式图灵压缩展开，探讨了多个图论问题的求解方法和相关性质。

2. 基本概念与计算方法

• 模块分解树与相关计算 ：对于图 $G$ 的模块分解树 $MD(G)$，每个顶点 $v_M$ 对应图 $G$ 的一个强模块 $M$，且 $MD(G)$ 可在线性时间内构造。为了得到 $F_1(G), \ldots, F_r(G)$，我们采用自底向上的方式计算 $MD(G)$ 中各顶点对应图的所有 $F_i$ 值。
  • 叶子节点 ：$MD(G)$ 每个叶子节点对应的图是单点图 $K_1$，根据相关陈述，$F_i(K_1)$ 可在 $O(1)$ 时间内求解。
  • 内部节点 ：
    • 素节点 ：假设 $v_M$ 是素节点，$X \in \mathcal{X}$ 是由最大模块化划分 $P$ 生成的带值商图。已知所有 $M’ \in P$ 的 $F_1(G[M’]), \ldots, F_r(G[M’])$ 和 $G[M]/P$，可立即得到 $X$。通过穷举生成字符串 $(X, k_1, \ldots, k_r)$ 并查询神谕是否在集合 $Q$ 中，最多查询 $(|G|^c + 1)^r = |G|^{O(1)}$ 次即可得到 $F_1(G[M]), \ldots,