2.4 卷积2

2.4.2 复正弦波与整体方案

在2.3节中，我们提出了关于复正弦输入的频域输出及其意义的两个问题。为了研究这些问题，我们让一个具有真实脉冲响应 $h[n]$（即 $h_Q[n]=0$）的LTI系统通过输入复正弦波 $V[n]$ 来激发。对于复脉冲响应，也可以得到类似的结果。

$$V_I[n]=\cos 2\pi \frac{k}{N}n$$

$$V_Q[n]=\sin 2\pi \frac{k}{N}n$$

其中，$k/N$ 是任意的离散频率，范围在 $[-0.5,+0.5]$ 之间。输出通过输入和系统脉冲响应的卷积给出：

$$r[n]=V[n]\ast h[n]=\sum _{m=0}^{N-1}V[m]h[n-m]=\sum _{m=0}^{N-1}h[m]V[n-m]$$

最后的等式是由卷积的交换性得出的。输出的 $I$ 和 $Q$ 分量表达如下：

$$r_I[n]=\sum _{m=0}^{N-1}h[m]\cdot \cos 2\pi \frac{k}{N}(n-m)$$

$$r_Q[n]=\sum _{m=0}^{N-1}h[m]\cdot \sin 2\pi \frac{k}{N}(n-m)$$

通过公式展开 $\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ 和 $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$，可以得到：

$$r_I[n]=\left\{\sum _{m=0}^{N-1}h[m]\cdot \cos 2\pi \frac{k}{N}m\right\}\cos 2\pi \frac{k}{N}n+\left\{\sum _{m=0}^{N-1}h[m]\cdot \sin 2\pi \frac{k}{N}m\right\}\sin 2\pi \frac{k}{N}n$$

$$r_Q[n]=-\left\{\sum _{m=0}^{N-1}h[m]\cdot \sin 2\pi \frac{k}{N}m\right\}\cos 2\pi \frac{k}{N}n+\left\{\sum _{m=0}^{N-1}h[m]\cdot \cos 2\pi \frac{k}{N}m\right\}\sin 2\pi \frac{k}{N}n$$

对于从方程(2.2)中得到的实数 $h[n]$，其中 $h[n]=h_I[n]$，

$$r_I[n]=H_I[k]\cos 2\pi \frac{k}{N}n-H_Q[k]\sin 2\pi \frac{k}{N}n$$

$$r_Q[n]=H_Q[k]\cos 2\pi \frac{k}{N}n+H_I[k]\sin 2\pi \frac{k}{N}n$$

根据复数的乘法规则 $I\cdot I-Q\cdot Q$ 和 $Q\cdot I+I\cdot Q$，上面的方程可以明显地看作是 $H[k]$ 和输入复正弦波 $V[n]$ 之间的乘积，如下所示：

$$r[n]=H[k]\cdot V[n]\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

最令人惊奇的是，上述方程表明输出只是输入 $V[n]$ 的一个缩放版本！这是因为 $H[k]$ 是相对于时间索引 $n$ 的复常数。我们得出结论，如果将其作为输入，相同的复正弦信号会出现在输出处，经过系统在离散频率 $k/N$ 上的频率响应缩放。由于 $H[k]$ 是复常数，我们可以将方程 (2.14) 写为：

$$r_I[n]=|H[k]|\cdot \cos \left(\frac{2\pi k}{N}n+\angle H[k]\right)$$

$$r_Q[n]=|H[k]|\cdot \sin \left(\frac{2\pi k}{N}n+\angle H[k]\right)\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

注释 2.5 为什么使用复正弦信号？

LTI（线性时不变）系统对复正弦信号的输出是相同的复正弦信号，但其幅度和相位发生了改变。为了了解 LTI 系统在频域中的响应，最合乎逻辑的方法是用不同频率的复正弦信号探测系统。这意味着形成一个具有相等幅度的 $N$ 个复正弦信号的输入信号。通过这种方式，检查每个可用频率区间的输出幅度和相位，并验证系统如何处理每个可能的复正弦信号。这正是我们用于测量图 2.5 中频率响应的方法。频率响应的幅度和相位分别称为幅度响应和相位响应。

2.4.3 循环卷积

在直观和数学上理解了常规卷积后，我们希望看到在频域中对这一过程的解释。具体来说，$r[n]=s[n]\ast h[n]$ 的 DFT（离散傅里叶变换）是什么？为回答这个问题，我们希望将 DFT 的定义应用于卷积方程 (2.4)，如下所示：

$$r[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[m]h[n-m]$$

然而，我们在第 1.8 节中看到，离散时间和离散频率域都仅在 $N$ 个采样点的范围内定义。图 1.51 还展示了通过 DFT 在频率轴上的采样在时域中会产生时间混叠，且这一周期扩展的一个重要含义是：用于 DFT 的序列移位实际上会导致循环移位。这引导我们进入循环卷积的概念。

时域中的循环卷积

循环卷积（Circular convolution）是两个信号之间的卷积，用符号 ⊛ 表示，它与常规卷积非常相似，只是翻转和时间移位是循环的。

$$r[n]=s[n]⊛h[n]=\sum _{m=0}^{N-1}s[m]h[(n-m)\mathrm{mod}N]\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

我们不再像处理卷积那样一步步进行，而是通过图 2.11 中相同的信号来展示这一过程：

$s[n]=[2-11]$

$h[n]=[-112]$

你会注意到这里的一个问题：不同的 $N$ 的选择会导致不同的输出。

$N>5$：常规卷积输出的长度是 $3+3-1=5$，正如图 2.9 所示。当 $N>5$ 时，即使应用了循环翻转和移位，也会产生不同的结果。

图 2.11：对于 $N=4$ 的 $s[n]$ 和 $h[n]$ 之间的循环卷积

这只会导致零穿过从右侧的 $N-1$ 边界并进入到左侧。因此，循环卷积的结果与常规卷积相同。

$$r[n]=[-232-12]\text{\hspace{1em}(2.17)}$$

N=4: 当 $N=4$ 时，在应用循环翻转和位移之前，需要在 $s[n]$ 和 $h[n]$ 的右侧插入一个零。直观的方法如图 2.11 所示，其中循环卷积的输出是通过逐列求和得到的。

$$r[n]=[032-1]$$

有趣的是，循环卷积的输出可以通过常规卷积通过循环移位和加法后得到。例如，在等式 (2.17) 中只有一个样本超出了 $N=4$ 设置的边界，该样本需要通过循环从左侧返回。通过将此值 $-2$ 加到 $n=0$ 时，我们得到了相同的 $r[n]=[032-1]$。

$N=3$: 在这种情况下，整个过程只涉及 3 个样本。验证输出为：

$r[n]=[-352]$

就像之前一样，这个结果可以通过使用常规卷积来看到。在等式 (2.17) 中，两个样本 $-1$ 和 2 超出了 $N=3$ 的边界，可以从左侧返回并分别添加到 $n=0$ 和 $n=1$ 的值 $-2$ 和 3 上。

一个日常生活中的循环卷积例子是太阳年和阴历年之间的不一致，太阳年大约为 365 天，阴历年大约为 354 天。由于两者相差大约 11 天，阴历年的剩余部分会延续到下一年的 1 月 1 日，并且每年这种部分重叠的现象都会发生变化。此现象如图 2.12 所示。

图 2.12： 太阳年和阴历年之间的循环卷积

频域中的循环卷积

让我们计算结果信号 $r[n]$ 的DFT $R[k]$。我们专注于实际信号，因为复数信号的推导相似，但稍微复杂一些。由于 $r[n]$ 是实际信号，在我们的情况下，$r_I[n]=r[n]$ 且 $r_Q[n]=0$，因此频域中的 $I$ 分量 $R_I[k]$ 可以根据DFT定义表示为：

$$R_I[k]=\sum _{n=0}^{N-1}{r}_I[n]\cos \frac{2\pi k}{N}n=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{N-1}s[m]h[(n-m)\mathrm{mod}N]\cos \frac{2\pi k}{N}n=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{N-1}s[m]h[(n-m)\mathrm{mod}N]\cos \frac{2\pi k}{N}(n-m+m)$$

使用等式 $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$，

$$R_I[k]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{N-1}s[m]h[(n-m)\mathrm{mod}N]\cos \frac{2\pi k}{N}(n-m)\cos \frac{2\pi k}{N}m$$

$$

• \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} s[m]h[(n - m) \mod N] \sin \frac{2\pi k}{N} (n - m) \sin \frac{2\pi k}{N} m
  $$

上述方程可以重新排列为：

$$R_I[k]=\sum _{m=0}^{N-1}s[m]\cos \frac{2\pi k}{N}m\sum _{n=0}^{N-1}h[(n-m)\mathrm{mod}N]\cos \frac{2\pi k}{N}(n-m)$$

$$

• \sum_{m=0}^{N-1} s[m] \sin \frac{2\pi k}{N} m \sum_{n=0}^{N-1} h[(n - m) \mod N] \sin \frac{2\pi k}{N} (n - m)
  $$

由于 $s[n]$ 和 $h[n]$ 在本推导中是实数，而 $\cos (\cdot )$ 和 $\sin (\cdot )$ 是周期信号，我们得到：

$$R_I[k]=S_I[k]\cdot H_I[k]-S_Q[k]\cdot H_Q[k]$$

对 $Q$ 分量进行类似的计算得出：

$$R_Q[k]=S_Q[k]\cdot H_I[k]+S_I[k]\cdot H_Q[k]$$

将上述两个方程结合起来，并与复数的乘法规则 $I\cdot I-Q\cdot Q$ 和 $Q\cdot I+I\cdot Q$ 比较，我们得到：

$$R[k]=S[k]\cdot H[k]\text{\hspace{1em}(2.18)}$$

因此，我们得到了一个极为重要的结果，它构成了大多数DSP应用的基础。

注释 2.6：卷积 → 乘法

对于离散信号，时域中两个信号之间的循环卷积等价于这些信号在频域中的逐点乘法。

$$s[n]\otimes h[n]\stackrel{F}{\to }S[k]\cdot H[k]\text{\hspace{1em}(2.19)}$$

上述关系对实数和复数信号均适用。

反向关系也成立。对于离散信号，两个时域信号的乘积在频域中结果为它们的循环卷积。

$$s[n]\cdot h[n]\stackrel{F}{\to }\frac{1}{N}\cdot S[k]\otimes H[k]\text{\hspace{1em}(2.20)}$$

频域中的循环相关

回想一下，两个复数信号之间的相关性涉及第二个信号的共轭，因为其中一个信号的相位的取反会抵消另一个信号的相位，从而完美地对齐信号分量以实现最大的相似性。在这里，利用等式(2.13)中的循环卷积，我们可以写成：

$$\text{corr}[n]=s[n]\otimes h^{\ast }[-n\mathrm{mod}N]\text{\hspace{1em}(2.21)}$$

这导致：

$$s[n]\otimes h^{\ast }[-n\mathrm{mod}N]\stackrel{F}{\to }S[k]\cdot H^{\ast }[k]\text{\hspace{1em}(2.22)}$$

$h^{\ast }[-n\mathrm{mod}N]$ 和 $H^{\ast }[k]$ 之间的关系将通过第 2.9 节中的 DFT 定义建立。我们得出结论，DFT $S[k]$ 与 $H[k]$ 的乘积在时域中生成它们的循环卷积，而 $S[k]$ 与 $H^{\ast }[k]$ 的乘积在时域中生成它们的循环相关。

互相关和自相关

上述相关性定义在两个不同信号之间，因此被自然称为互相关。当一个信号与自身相关时，它被称为自相关。它通过在方程 (2.21) 中设置 $h[n]=s[n]$ 定义为：

$$\text{corr}[n]=s[n]\otimes s^{\ast }[-n\mathrm{mod}N]$$

$$=\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[m]s^{\ast }[(m-n)\mathrm{mod}N]\text{\hspace{1em}(2.23)}$$

自相关的一个例子是图 2.13 中的矩形信号的自相关，对于 $N$ 大于矩形长度 $L$ 的两倍的情况，使得常规移位和循环移位变得相同。由于一个矩形逐样地滑过另一个矩形，它的自相关是一个持续时间从 $-(L-1)$ 到 $L-1$ 的三角脉冲形状。

• 对于 $n=-L$，矩形信号与自身没有重叠，因此自相关为零。

图 2.13： 矩形脉冲的自相关。观察不同时间移位的输出，峰值出现在 $n=0$

• 对于 $n=-(L-1)$，输出出现了一个样本的重叠。
• 对于 $n=0$，矩形完全对齐，出现了最大相关。

从这一点可以得出一个有趣的结论：

$$\text{corr}[0]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[m]s^{\ast }[m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }|s[m]{|}^2=E_s\text{\hspace{1em}(2.24)}$$

这就是信号 $s[n]$ 的能量。这在图 2.13 中显示为峰值为 4。由于相关性是相似度的衡量标准，这表明一个信号最类似于自身。两侧的较低峰值可以被认为是信号与具有相同结构但在某些方面不同的信号（例如矩形形状相同但时间移位不同）的相关性，就像你的兄弟姐妹在某些方面与你非常相似，但在其他方面却有所不同一样。

请记住，另一个信号可以具有大量的能量，因此其与信号 $s[n]$ 的互相关结果可能大于 $s[n]$ 的自相关结果，这在直觉上是不应该发生的。归一化的相关性 $\text{corr}[n]$ 定义如方程 (2.25) 所示，其方式使得最大值为1只能发生在信号与自身的相关性时。

$$\text{corr}[n]=\frac{{\sum }_{m=-\infty }^{\infty }s[m]h^{\ast }[(m-n)\mathrm{mod}N]}{\sqrt{{\sum }_{m=-\infty }^{\infty }|s[m]{|}^2\cdot {\sum }_{m=-\infty }^{\infty }|h[m]{|}^2}}=\frac{1}{\sqrt{E_s\cdot E_h}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[m]h^{\ast }[(m-n)\mathrm{mod}N]\text{\hspace{1em}(2.25)}$$

无论另一个信号中的能量如何，其与另一个信号的归一化互相关不能超过信号自身的归一化自相关，因为出现在分母中的两个能量都是相关的。

能量谱密度

对信号的自相关进行DFT（离散傅里叶变换）并利用方程 (2.22)，我们得到

$$\text{corr}[n]\stackrel{\mathcal{F}}{\to }S[k]\cdot S^{\ast }[k]=|S[k]{|}^2\text{\hspace{1em}(2.26)}$$

表达式 $|S[k]{|}^2$ 被称为 能量谱密度，因为我们将在第2.9节中学习，时域中的信号能量通过Parseval定理与频域中的信号能量相关联。

$$E_s=\sum _{n=0}^{N-1}|s[n]{|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|S[k]{|}^2\text{\hspace{1em}(2.27)}$$

因此，可以通过对每个频率箱中的能量 $|S[k]{|}^2$ 求和来获得信号的能量（归一化常数 $1/N$ 除外）。相应地，$|S[k]{|}^2$ 可以称为每个谱箱的能量，或能量谱密度。

图2.14绘制了矩形信号的能量谱密度，该信号的自相关如图2.13所示。如果图形看起来很熟悉，那是因为矩形信号的DFT $S[k]$ 是一个sinc函数，因此其能量谱密度 $|S[k]{|}^2$ 是sinc平方。

图 2.14: 矩形信号的能量谱密度，其自相关如图 2.13 所示。

从上面的讨论中，找到信号的谱密度有两种方法：

1. 取信号DFT（离散傅里叶变换）的幅度平方。
2. 取信号自相关的DFT。