可爱的数学题目

最新推荐文章于 2022-08-19 22:08:13 发布

原创最新推荐文章于 2022-08-19 22:08:13 发布 · 置顶 · 957 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

这里主要收集一些可爱的数学题目，主要是组合和数论
1.
在这里插入图片描述
不妨证明 $120)5x^3\equiv x^5+4x(mod\ 120)$
$120)x(x^4-5x^2+4)\equiv 0(mod\ 120)$
$120)x(x^2-4)(x^2-1)\equiv 0(mod\ 120)$
2.
从异或的角度考虑
首先采用抽屉原理, $(482)>1024\binom{48}{2}>1024$
如果两个二元组无交集，得证
有交集，得到一个二元组为0
注意到 $(462)>1024\binom{46}{2}>1024$
再分类讨论一下就行了
3.好久没更了，来一道

运用对应发和算两次
考虑对每个学生和社团进行对应，这会是一个俱乐部
有 $n k$ 个
再用算两次，考虑一个俱乐部被算几次
那么会是
$∑(2m+1)∗m\sum (2m+1)*m$
将这个式子变形一下
$∑(2m+12)\sum \binom{2m+1}{2}$
结合(1)，这个式子等于 $(n2)\binom{n}{2}$
换句话说
$nk=n∗(n−1)2nk=\frac{n*(n-1)}{2}$
所以 $k = 5000$
4. 在这里插入图片描述
额，其实是例12
解法是构造和论证
论证: $(12k2)∣(3k+62)∗12k\binom{12k}{2}|\binom{3k+6}{2}*12k$
于是k只能等于3
构造:123456
612345
561234
456123
345612
234561
每个数选同行，同列和相同数字的
5.挖坟警告
设p,q是正整数， $(p, q) = 1$ ,将pq粒糖分成k包，使这些糖包即可以分成p堆，每堆q粒，也可以分成q堆，每堆p粒
证: $k⩾p+q−1k\geqslant p+q-1$
考虑图论证明
如果一包糖在一开始的p堆中的第i堆，q堆中的第j堆
那我们从左侧的第i个点连到右侧的第j个点，权值为该包糖的个数
易见， $(i, j)$ 若有重边，可以简化
那么考虑这个图，你会发现它是连通的
因为设一个联通快有x个左侧点,y个右侧点
统计边权的和，用算两次的思路，会有
$q x = p y$
注意到 $(p, q) = 1$ ，所以 $p ∣ x, q ∣ y$
所以 $x = p, y = q$
联通至少需要p+q-1条边
6.记 $Cn=(n⌊n2⌋)C_n=\binom{n}{\left \lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor}$
证明: $∑k=0nCnkCkCn−k=CnCn+1\sum_{k=0}^{n}C_n^kC_kC_{n-k}=C_nC_{n+1}$
考虑建立组合模型，考虑从n对夫妻中和一个男导游中选出一些人，女的人数为 $⌊n2⌋\left \lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor$ ，男的为 $⌊n+12⌋\left \lfloor \frac{n+1}{2}\right \rfloor$ 个
7.甲乙二人玩写数游戏，规则是二人轮流将黑板上的数n变成n+d,其中d是小于n的正约数。甲先手，谁先写出大于19891989的数，告负。问谁能获胜。一开始n=2。
甲，奇数的因子是奇数，所以加上后是偶数。于是甲每次加1，加后变成奇数，乙就会变成偶数。
于是乙肯定是第一个大于的。
8.
图中的例五
首先是这道题的神来之笔，我也不知道怎样才能想到这一步，我们令
$pp≡1(modq)p^p \equiv 1(mod q)$
即 $q|p^p-1$
在这个条件下继续构造
注意到，如果这样的q不满足条件，存在n
$q)n^p\equiv p(mod\ q)$
且
$q)n^{p*p}\equiv p^p \equiv 1(mod\ q)$
此时我们加一些限制，如果我们选出恰当的q，使得p mod q不为1，那么如果q不符合条件，n mod q的阶就必然是 $p^2$
整理一下，现在有以下两个条件
$pp≡1(modq)p^p \equiv 1(mod q)$ ,叫做条件1
p mod q不为1，也可等价表示成q不是p-1的因数，叫做条件2
如果存在阶是 $p^2$ ，那么 $p^2|q-1$
于是再满足这么个条件, $p^2$ 不是q-1的因数，叫做条件3
这样的质数q一旦存在，就解决了这道题题目，而它实际上也存在
取q为 $pp−1p−1\frac{p^p-1}{p-1}$ 的一个质因子，mod $p^2$ 不为1,注意这个分数显然是个整数
条件1顺利满足
看看条件2，注意到 $gcd(pp−1p−1,p−1)=1gcd(\frac{p^p-1}{p-1},p-1)=1$ ，具体步骤可以先把p-1，换元，然后二项式展开，故q会为1，与q是质数矛盾，故条件2满足
看看条件3，此时的问题变成了判定是否存在这么一个q
$p2)\frac{p^p-1}{p-1} \equiv -1*inv(p-1) \equiv(p^2-1)*inv(p-1)\equiv p+1 (mod \ p^2)$
如果不存在这么一个q
$p2)\frac{p^p-1}{p-1} \equiv 1(mod\ p^2)$
所以这么一个q肯定存在，条件3肯定满足
Q.E.D