OI数学Note(基础篇)

排列组合

$$C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)$$

void prec()
{
    for(int i=0;i<=n;i++) {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])
        }
    }
}

一些基本性质和简单说明

$$C(n,m)=C(n,n-m)$$ 在n个物品中选m个等价于在n个物品中不选n-m个

$$C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)$$ 在n个物品中选m个可以看成两种操作,
首先先选一个物品出来
1:这个物品并不属于实际选的m个物品中,那么需要在n-1个物品中选m个
2:这个物品属于,那么需要在n-1个物品中选m-1个
答案为两种情况之和

$$2^n=\sum_{k}C(n,k)$$
看成一个长度为n的01串的所有可能,k为所有0的数量,以左右两边表示意义相同,相等

$$C(n+m,r)=\sum_{k}C(n,k)+C(m,r-k)$$
把r件物品分别放在n中和m中即可

$$C(n,m)=n/m\cdot C(n-1,m-1)$$

若先在n-1的01串中有m-1为1,则最后一个空位必定为1,那么最后1的位置最多有n种,但其中在n-1中的1为可能重复所以需要除以m(其实我觉得这个直接用公式记忆吧,毕竟好推导一点Orz…)

$$C(n,m)C(m,r)=C(n,r)C(n-r,m-r)$$
这个我是真不会证(不用公式),有没有神犇知道的说一下的说,感激不尽

可重复的组合

$$C(n+m-1,m)$$

等同于从n+m-1个元素中选出m个元素的值

一些定理和算法

卢卡斯定理:

$$C(n,m)\equiv C(n\%p,m\%p)C(n/p,m/p) modp$$

目的:为了解决当n或者m远远大于p时不能进行运算的问题,对于C的式子,只要n或者m大于P便一直递归下去

ll lucas(ll n,ll m)
{
    if(!m) return 1;
    return c[n%p][m%p]*lucas(n/p,m/p)%p;
}

二项式定理

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}C(n,k)a^{n-k}b^k$$

欧几里德和拓展欧几里德

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y) 
{
    if(!b) {d=a;x=1;y=0;}
    else exgcd(b,a,d,y,x),y-=x*(a/b);
}

威尔逊定理
若p为质数则:

$$p|(p-1)!+1$$

中国剩余定理

LL china(int n,int a[N],int m[N])
{
    LL M=1,d,y,x=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        ll w=M/m[i];
        exgcd(m[i],w,d,d,y);
        x=(x+y*w*a[i])%M;
    }
    return (x+M)%M;
}

丢代码跑,真心不想写解析了太懒了