矩阵的秩，行列式，代数余子式啥的

最新推荐文章于 2025-03-03 08:01:46 发布
原创 最新推荐文章于 2025-03-03 08:01:46 发布 · 3.7k 阅读 · 11 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文介绍了矩阵的代数余子式及其计算方法，包括rank(A)为n-2、n和n-1的情况。当rank(A)=n时，提供了A*与A的行列式的乘积等于A的逆的性质。通过高斯消元法可求矩阵的秩，矩阵的逆可通过特定变换得到。最后，提到在实际问题中，如[Bzoj 3168]，求逆矩阵后解决二分图最小字典序的完美匹配问题，时间复杂度为O(n^3)。

参考资料:

nealchen
Rose_max

求解A的代数余子式:

(1)rank(A)<=n-2，每个位置均为0
(2)rank(A)=n,有 A ∗ = ∣ A ∣ ∗ A − 1 A^*=|A|*A^{-1} A∗=∣A∣∗A−1,其中A*是代数余子式矩阵的转置矩阵，实现的时候需要注意这点
(3)rank(A)=n-1,则求出非0行向量p,满足pA=0，以及非0列向量q,满足Aq=0
找出一对r,c，满足 p r ≠ 0 , q c ≠ 0 p_r\neq 0,q_c\neq 0 pr​​=0,qc​​=0，我们有 A i , j = p i q j p r q c A r , c A_{i,j}=\frac{p_iq_j}{p_rq_c}A_{r,c} Ai,j​=pr​qc​pi​qj​​Ar,c​
实现的时候，为了方便可以设置 p r = 1 , q c = 1 p_r=1,q_c=1 pr​=1,qc​=1
至于求解一个矩阵的秩，模拟高斯消元，还剩下多少个非0的行向量就是矩阵的秩
至于求解一个矩阵的逆，由于保证了逆是良定义的，所以一定可以用:
1.一行乘上某个数
2.一行乘上某个数加到某行
2.交换两行
变成单位矩阵
注意到，上面3个变换都可以表示成矩阵，意思是你求出了个
E k . . . . E 1 A = I E_k....E_1A=I Ek​....E1​A=I，那么 E k . . E 1 = A − 1 E_k..E_1=A^{-1} Ek​..E1​=A−1
上面的时间复杂度都是 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)

例题

求出代数余子式后随便做
复杂度: O ( n 3 + m ) O(n^3+m) O(n3+m)
正经人谁考场上写代数余子式啊

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod=1000000007;
int n,m;
#define Maxn 305
#define E 100010
struct Edge{
	int s,e,t;
}edge[E];
int A[Maxn][Maxn],invA[Maxn][Maxn],B[Maxn][Maxn],Ans[Maxn][Maxn],C[Maxn][Maxn];

namespace modular{
	int add(int a,int b){return a+b>=Mod?a+b-Mod:a+b;}
	int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+Mod:a-b;}
	int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%Mod;}
	int Fast_Pow(int a,int b){
		int res=1;
		while(b){
			if(b&1)res=1ll*res*a%Mod;
			a=1ll*a*a%Mod;
			b>>=1;
		}
		return res;
	}
}using namespace modular;

int p[Maxn],q[Maxn];
void Gauss(int A[][Maxn],int *p,int &r){
	for(int i=1,t=1;i<=n&&t<=n;++i,++t){
		for(int j=i;j<=n;++j)
			if(A[j][t]){
				if(j^i)
					for(int k=t;k<=n;++k)swap(A[i][k],A[j][k]);
				break;
			}
		if(!A[i][t]){
			--i;r=t;
		}else{
			int f=Fast_Pow(A[i][t],Mod-2);
			for(int j=i+1;j<=n;++j){
				int v=mul(f,A[j][t]);
				if(v)
					for(int k=t;k<=n;++k)A[j][k]=dec(A[j][k],mul(A[i][k],v));
			}
		}
	}
	p[r]=1;int at;
	for(int i=n-1;i>=1;--i){
		if(i<r)at=i;
		else at=i+1;
		p[at]=0;
		for(int j=at+1;j<=n;++j)p[at]=dec(p[at],mul(p[j],A[i][j]));
		p[at]=mul(p[at],Fast_Pow(A[i][at],Mod-2));
	}
}
int Det(int A[][Maxn]){
	int res=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=i;j<=n;++j)
			if(A[j][i]){
				if(j^i){
					for(int k=i;k<=n;++k)swap(A[i][k],A[j][k]);
					res=dec(0,res);
				}
				break;
			}
			int f=Fast_Pow(A[i][i],Mod-2);
			for(int j=i+1;j<=n;++j){
				int v=mul(f,A[j][i]);
				for(int k=i;k<=n;++k)A[j][k]=dec(A[j][k],mul(A[i][k],v));
			}
		}
	for(int i=1;i<=n;++i)res=mul(res,A[i][i]);
	return res;
}
void solve(){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j){
			A[i][j]=B[i][j];
			invA[i][j]=0;
			if(i==j)invA[i][j]=1;
		}
	int cnt=0,ty=1;
	for(int i=1,t=1;i<=n&&t<=n;++i,++t){
		for(int j=i;j<=n;++j)
			if(A[j][t]){
				if(j^i){
					for(int k=t;k<=n;++k){
						swap(A[i][k],A[j][k]);
						swap(invA[i][k],invA[j][k]);
					}
					for(int k=1;k<t;++k)swap(invA[i][k],invA[j][k]);
					ty=dec(0,ty);
				}
				break;
			}
		if(!A[i][t]){
			--i;cnt++;
		}else{
			int f=Fast_Pow(A[i][t],Mod-2);
			for(int j=i+1;j<=n;++j){
				int v=mul(f,A[j][t]);
				for(int k=t;k<=n;++k){
					A[j][k]=dec(A[j][k],mul(A[i][k],v));
					invA[j][k]=dec(invA[j][k],mul(invA[i][k],v)); 
				}
				for(int k=1;k<t;++k)invA[j][k]=dec(invA[j][k],mul(invA[i][k],v));
			}
		}
	}
	if(cnt>=2){
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=n;++j)Ans[i][j]=0;
		return;
	}
	if(!cnt){
		for(int i=n;i>=1;--i){
			ty=mul(ty,A[i][i]);
			for(int j=i+1;j<=n;++j)
				for(int k=1;k<=n;++k)invA[i][k]=dec(invA[i][k],mul(A[i][j],invA[j][k]));
			int t=Fast_Pow(A[i][i],Mod-2);
			for(int k=1;k<=n;++k)invA[i][k]=mul(invA[i][k],t);
		}
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=n;++j){
				Ans[j][i]=mul(invA[i][j],ty);
			}
		return;
	}

	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)C[j][i]=B[i][j];
	int r,c;
	Gauss(C,p,r);
	Gauss(A,q,c);
	int t1,t2;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
		if(i!=r&&j!=c){
			if(i<r)t1=i;
			else t1=i-1;
			if(j<c)t2=j;
			else t2=j-1;
			C[t1][t2]=B[i][j];
		}
	n--;
	int res=Det(C);
	if((r+c)&1)res=dec(0,res);
	n++;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)Ans[i][j]=mul(p[i],mul(q[j],res));
}

inline void rd(int &x){
	x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
}

int main(){
	rd(n);rd(m);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		rd(edge[i].s);rd(edge[i].e);rd(edge[i].t);
		B[edge[i].s][edge[i].e]=dec(B[edge[i].s][edge[i].e],1);
		B[edge[i].s][edge[i].s]++;
	}
	n--;
	solve();
	n++;
	int res=0;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		if(edge[i].s<n)
			res=add(res,mul(dec(Ans[edge[i].s][edge[i].s],Ans[edge[i].s][edge[i].e]),edge[i].t));	
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}

[Bzoj 3168]求出逆矩阵后，变成二分图最小字典序的完美匹配
时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
int n;
#define Maxn 305
double A[Maxn][Maxn],invA[Maxn][Maxn],B[Maxn][Maxn],C[Maxn][Maxn];

int head[Maxn<<1],v[200010],nxt[200010],tot=0;
inline void add_edge(int s,int e){tot++;v[tot]=e;nxt[tot]=head[s];head[s]=tot;}

int S,mn,fr[Maxn<<1];
int match[Maxn<<1];
bool vis[Maxn<<1];
bool dfs1(int u){
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
		if(!vis[v[i]]){
			vis[v[i]]=true;
			if(!match[v[i]]||dfs1(match[v[i]])){
				match[u]=v[i];
				match[v[i]]=u;
				return true;
			}
		}
	return false;
}

void dfs2(int u){
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
		if(!vis[v[i]]){
			vis[v[i]]=true;
			fr[match[v[i]]]=u;
			dfs2(match[v[i]]);
		}else if(v[i]==S)mn=min(mn,u);
}

void calc_inv(){
	for(int i=1;i<=n;++i)invA[i][i]=1.0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(fabs(A[i][i])<eps){
			for(int j=i+1;j<=n;++j)
				if(fabs(A[j][i])>=eps){
					for(int k=i;k<=n;++k){
						swap(A[i][k],A[j][k]);
						swap(invA[i][k],invA[j][k]);
					}
					for(int k=1;k<i;++k)swap(invA[i][k],invA[j][k]);
					break;
				}
		}
		if(fabs(A[i][i])<eps){
			puts("NIE");
			exit(0);
		} 
		for(int j=i+1;j<=n;++j){
			double t=A[j][i]/A[i][i];
			for(int k=i;k<=n;++k)A[j][k]-=A[i][k]*t,invA[j][k]-=invA[i][k]*t;
			for(int k=1;k<i;++k)invA[j][k]-=invA[i][k]*t;
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;--i){
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			for(int k=1;k<=n;++k)invA[i][k]=(invA[i][k]-invA[j][k]*A[i][j]);
		for(int j=1;j<=n;++j)invA[i][j]=invA[i][j]/A[i][i];
	}
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)scanf("%lf",&A[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)scanf("%lf",&B[i][j]);
	calc_inv();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			for(int k=1;k<=n;++k)C[i][k]+=B[i][j]*invA[j][k];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j){
			if(fabs(C[i][j])>=eps)add_edge(j,i+n),add_edge(i+n,j);
		}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	if(!match[i]){
		memset(vis,false,sizeof(bool)*(2*n+1));
		if(!dfs1(i)){
			puts("NIE");
			return 0;
		}
	}
	puts("TAK");
	for(int i=1;i<=n;++i){
		S=i;mn=match[i];
		for(int j=i+1;j<=n;++j)vis[j]=false;
		vis[i]=true;
		dfs2(match[i]);int z=match[i];
		int at=mn,pre=match[at];
		while(at!=z){
			int to=pre;
			match[to]=fr[at];
			pre=match[fr[at]];
			match[fr[at]]=to;
			at=fr[at];
		}
		match[i]=mn;match[mn]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",match[i]-n);
	return 0;
}
【Python】逆矩阵 | 行列式 | 伴随矩阵 | 代数余子式 | 算法面试：给定一个二叉树，找出其中的最大路径和。| 路径，路径和
追光者♂：记录、分享、总结、提升，现象级专栏《Python从入门到人工智能》作者，无惧黑暗，坚信曙光
09-11 1211
Python 之 线性代数，矩阵部分介绍。【Python】逆矩阵 | 行列式 | 伴随矩阵 | 代数余子式 | 算法面试：给定一个二叉树，找出其中的最大路径和。
机器学习——矩阵和线性代数相关知识总结
weixin_39928773的博客
02-05 628
方阵行列式 计算：nnn阶方阵的行列式等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 代数余子式 余子式：在一个nnn阶行列式AAA中，把(i,j)(\mathrm{i}, \mathrm{j})(i,j)元素aija_{ij}aij​所在的第iii行和第jjj列划去后，留下的n−1n-1n−1阶方阵的行列式叫做元素aija_{ij}aij​的余子式，记做MijM_{ij}Mij​。...
例题：求矩阵代数余子式
Mittens 的专栏
09-05 3万+
备注：经常忘记的一些概念
线性代数基础9--正交矩阵与行列式基础,代数余子式
pu_pupupupupu的博客
01-16 3537
1,正交基与正交矩阵 标准正交向量组中,向量之间满足两两正交,并且每个基的长度为1 将标准正交向量组成一个矩阵Q.则有一个重要的性质,并且不要求Q一定为方阵.如下 这里我们将标准正交矩阵,并且只有在Q为方阵的情况下才,简称为正交矩阵. 强调方阵是因为可逆 也许有一个问题是正交矩阵是否可逆,但是正交矩阵符合可逆的定义,我们还找出了它的可逆矩阵,(如果这两个矩阵乘积为单位矩阵,并且是方阵,那么它们互为可逆),所以Q一定可逆,也就可以说明,正交向量一定线性无关.是可以证明的,有兴趣可以网上查看.也可以简单的
线性代数 李永乐强化班
qq_44292038的博客
07-03 8929
数字强调大小，线代强调方向 别的向量是基向量缩放得到的 向量不平行就线性无关吗 无关的向量可以张成一个子空间，即表示某一维度里面的任意一个向量 A特征向量=特征值E*特征向量 标准基向量表示的特征向量换一种基向量任然是 相同的倍数 克拉默法则：行列式不为0，方程组的解为什么 非齐次方程组系数行列式不为0，方程组有唯一解 非齐次方程组系数行列式为0，可能无穷多解，可能无解 齐次方程组的系数行列式不为0，只有零解 齐次方程组系数行列式为0，有非零解 ...
余子式 和矩阵的秩的联系
最新发布
AI Agent 首席体验官
03-03 1557
余子式(Minor): 对于一个n×nn \times nn×n的矩阵AAA，其kkk阶余子式是通过从AAA中选取kkk行和kkk列，然后计算这个k×kk \times kk×k子矩阵的行列式得到的值。代数余子式(Cofactor): 代数余子式是在余子式的基础上乘以−1ij(-1)^{i+j}−1ij，其中iii和jjj分别是所选行和列的索引。矩阵的秩(Rank): 矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量。
线性代数（4）：伴随矩阵、逆矩阵和矩阵的秩
jc15274630894的博客
07-04 2万+
线性代数（4）
C语言用代数余子式计算行列式
王元笙
06-08 2万+
讲述了利用代数余子式计算行列式的原理，用递归的方式用C语言实现了行列式的计算。
LearnGL - 06.2 - Matrix - 矩阵03 - 逆矩阵、行列式、伴随矩阵、余子式、代数余子式、练习
Jave.Lin 的学习笔记
06-24 2432
文章目录逆矩阵-inverse matrix行列式-determinant伴随矩阵-adjugate、adjoint matrix余子式-Cofactor、Minor余子项余子式代数余子式-Algebraic cofactor、Minor伴随矩阵-二维的例子References LearnGL - 学习笔记目录 本人才疏学浅，如有什么错误，望不吝指出。 上些篇： LearnGL - 06 - Matrix - 矩阵01，了解了矩阵就是定义一个坐标空间的轴向 LearnGL - 06.1 - Matrix
矩阵知识：正交矩阵、行列式、子式与代数余子式
kking_edc的博客
06-09 6735
一、正交矩阵 1.1 RnR^nRn的标准正交基 1.1.1 定义1 Rn中的n个向量η1,η2,...,ηn满足:R^n中的n个向量\eta_1,\eta_2,...,\eta_n满足:Rn中的n个向量η1​,η2​,...,ηn​满足: (1)两两正交：ηiTηj=0(i≠0)(1)两两正交：\eta_i^T\eta_j=0(i\ne0)(1)两两正交：ηiT​ηj​=0(i​=0) (2)都是单位向量，即∣∣ηi∣∣=1,i=1,2,...,n(2)都是单位向量，即||\eta_i||=1,i=1,
数二-线代
GSQ_g的博客
08-30 1869
1）对于倍加类型的初等矩阵，其逆矩阵是原初等矩阵对应行变相反数的矩阵；3）对于倍乘类型的初等矩阵，逆矩阵是原矩阵对应行乘以倒数。2）互换类型的初等矩阵，其逆矩阵是自身；
矩阵的秩的一些定理证明
weixin_38404857的博客
07-04 5608
看论文遇到的一些数学定理，公式，推导证明Rank(ATA)=Rank(A)Rank(A^TA)=Rank(A)Rank(ATA)=Rank(A) 证明Rank(ATA)=Rank(A)Rank(A^TA)=Rank(A)Rank(ATA)=Rank(A) 我是看stackexchange上的回答看懂的。下面是中文版的证明。 矩阵A是一个m×nm\times nm×n的矩阵，我们将满足Ax=0Ax=0Ax=0的所有xxx构成的集合称为A的null space,写做N(A)N(A)N(A). 我们先证明 ① N
伴随矩阵的秩和原矩阵的秩的关系
热门推荐
qq_42578970的博客
05-17 5万+
行列式的子式、主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式
hyl1181的博客
12-13 4万+
k阶子式：指在行列式中任取k行k列组成的行列式。k行k列是任意组合没有限定要求，只要行列相等即可。 k阶主子式：指在行列式中选k行k列，但要求行和列的下标相同。如：行为r1、r2、r3，列必须为c1、c2、c3；行为r2、r3、r5，列必须为c2、c3、c5。因此，k阶主子式不唯一。 k阶顺序主子式：指在行列式中选k行k列，但要求下标只能从1行、1列依次按顺序选取，即选取前k行和前k列，保证满足若rs行在，那么rs-1行也在。因此，顺序主子式是唯一的。 余子式：在n阶行列式中，去掉aij所在的ri行与cj列
矩阵秩和伴随矩阵秩的关系
niki_yang
12-10 4万+
行列式
欢迎来到关关雎鸠儿的博客
09-01 1万+
行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的两个应用—秩和克莱姆法则. 给定矩阵A，从中选择顶若干行和若干列，将其余的行和列都删去，剩下的元素按原来的排列顺序排成一个矩阵叫做A的子矩阵。 在n阶方阵中，把元素aij所在的第i行和第j列划去，留下来的n-1阶矩阵叫做aij的与子矩阵，记作Mij。 Mij:...
线性代数之矩阵秩的求法与示例详解
数据科学汇集
08-16 4万+
线性代数之矩阵秩的求法 K阶子式 在m×n的矩阵A中，任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n)，位于这些行和列交叉处的 个元素，在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。 不难发现矩阵A有个 个k阶子式。 比如有矩阵A 比如取第1行，第3行，第1列，第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作 ： 即其中的一个2阶子式是： 矩阵的秩 设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，则D是该矩阵的最高阶非零子式。非..
余子式总结
weixin_42465242的博客
08-25 1444
行列式：gauss消元求。 余子式：去掉一行一列后，剩下的矩阵的行列式组成的矩阵。 代数余子式：余子式根据行列的奇偶性取相反数后的矩阵。 行列式等于 各个位置乘以代数余子式之和。 代数余子式的转置叫伴随矩阵。 伴随矩阵等于逆矩阵乘以行列式。 所以，一遍行列式，一遍逆矩阵，就能知道代数余子式。 进而知道修改某一位置后的行列式，以及删除一行一列后剩下的矩阵的行列式。 时间复杂度\(O(n^3...
线性代数之——行列式公式及代数余子式
weixin_30399155的博客
11-27 3492
计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 \(n!\) 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。 主元的乘积为 \(2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} = 5\)。 大公式有 \(4!=24\) 项，但只有 5 个非零项。 \[det A = 16-4-4-4+1 = 5\] 16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积，其...
Qt实现N阶矩阵行列式及余子式计算
### 描述知识点：可求N阶矩阵行列式，代数余子式等。注意需安装Qt。测试代码自行撰写 #### 4. Qt框架 - **定义**：Qt是一个跨平台的应用程序和用户界面框架，广泛用于C++语言开发中。它提供了创建图形用户界面所需...
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值