矩阵的秩，行列式，代数余子式啥的

最新推荐文章于 2024-10-24 21:03:37 发布

ezoilearner

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分类专栏：学习笔记

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ezoilearner/article/details/109131285

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本文介绍了矩阵的代数余子式及其计算方法，包括rank(A)为n-2、n和n-1的情况。当rank(A)=n时，提供了A*与A的行列式的乘积等于A的逆的性质。通过高斯消元法可求矩阵的秩，矩阵的逆可通过特定变换得到。最后，提到在实际问题中，如[Bzoj 3168]，求逆矩阵后解决二分图最小字典序的完美匹配问题，时间复杂度为O(n^3)。

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参考资料:

nealchen
Rose_max

求解A的代数余子式:

(1)rank(A)<=n-2，每个位置均为0
(2)rank(A)=n,有 $A^*=|A|*A^{-1}$ ,其中A*是代数余子式矩阵的转置矩阵，实现的时候需要注意这点
(3)rank(A)=n-1,则求出非0行向量p,满足pA=0，以及非0列向量q,满足Aq=0
找出一对r,c，满足 $p_r\neq 0,q_c\neq 0$ ，我们有 $A_{i,j}=\frac{p_iq_j}{p_rq_c}A_{r,c}$
实现的时候，为了方便可以设置 $p_r=1,q_c=1$
至于求解一个矩阵的秩，模拟高斯消元，还剩下多少个非0的行向量就是矩阵的秩
至于求解一个矩阵的逆，由于保证了逆是良定义的，所以一定可以用:
1.一行乘上某个数
2.一行乘上某个数加到某行
2.交换两行
变成单位矩阵
注意到，上面3个变换都可以表示成矩阵，意思是你求出了个
$E_k....E_1A=I$ ，那么 $E_k..E_1=A^{-1}$
上面的时间复杂度都是 $O(n^3)$

例题

求出代数余子式后随便做
复杂度: $O(n^3+m)$
~~正经人谁考场上写代数余子式啊~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod=1000000007;
int n,m;
#define Maxn 305
#define E 100010
struct Edge{
   
	int s,e,t;
}edge[E

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