一道有趣的构造题

题意
以下是三道证明题，均在平面上进行讨论。
以下$(x_0,y_0)-(x_1,y_1)$表示一条从$(x_0,y_0)$到$(x_1,y_1)$的直线。
其中，一条直线与一个点集合相交表示这条直线上存在一个点，这个点也在该点集合中。
我们称(x,y)是有理数点当且仅当x,y均为有理数
实数点，整数点同理。
证明：存在一种划分方式，可以将平面上所有实数点划分成n个非空集合。
使得对于任意一条有两个实数点的直线，它会与这n个集合的每个集合相交。
其中，n为任意正整数。
我们令第i$(0⩽i<n)$个集合中的点为
{(x,y)∣(x,y)与(0,0)的距离为自然数，且x2+y2≡i (mod n)}\{(x,y)|(x,y)与(0,0)的距离为自然数，且\sqrt{x^2+y^2} \equiv i\ (mod\ n)\}{(x,y)∣(x,y)与(0,0)的距离为自然数，且x2+y2​≡i (mod n)}
这实际上就是画圆吗。
注意到，如果不考虑其他实数点的划分，而只考虑这些实数点的划分，满足要求，那么其他实数点随意划分即可
然后你会发现这样的划分方式会满足，因为对于直线$(x_0,y_0)-(x_1,y_1)$，有无数个半径为自然数的圆包含它们两个点，而这条直线又会与里面的每个圆相交，于是与所有点集合相交，完。
证明：有理点
第i个集合中的点为
{(x,y)∣max(∣x∣,∣y∣)为自然数,max(∣x∣,∣y∣)≡i(mod n)}\{(x,y)|max(|x|,|y|)为自然数,max(|x|,|y|)\equiv i(mod\ n)\}{(x,y)∣max(∣x∣,∣y∣)为自然数,max(∣x∣,∣y∣)≡i(mod n)}
这就是点出正方形上的所有有理点。
注意到，如果不考虑其他有理点的划分，而只考虑这些有理点的划分，满足要求，那么其他有理随意划分即可
对于直线$(x_0,y_0)-(x_1,y_1)$，有无数个长度为偶数的正方形包含它们两个点，而这条直线又会与里面的每个正方形相交，且相交点为有理点，证毕。
相交点是有理点是因为有理数运算的封闭性，读者可以自己想一想
证明：整数点
好戏来了。
对于$(x,y)$，它的所述集合是$max(x,y)modn$
注意到，如果正整数i(i>1)成立，那么i-1也会成立。换言之，用数学归纳法，1~i都会成立。质数有无限多个，所以只要证明n为质数时存在划分方式即可。
对于一条有两个整数点的直线，我们可以将其表示成$(x,y,p,q)$
$x,y,p,q$均是整数，且$(p,q)=1$
因为$(p,q)=1$,所以p,q中必然有一个不是n的倍数
对于这条直线上的每个整数点，我们可以表示成集合
{(x+pk,y+qk)∣k是整数}\{(x+pk,y+qk)|k是整数\}{(x+pk,y+qk)∣k是整数}
我们分情况讨论:
(1)$p=q$，则p=1,q=1，那么这样的一条直线横纵坐标中的最大者确定了，且这个最大者不停加上任意整数，便历了所有mod n可能的余数，于是肯定会与所有点集合相交。
(2)$p≠q$,由于对称性，假设$p\equiv ̸0(modn)$（不满足将下文’x’换成’y’,‘y’换成’x’）。则对于不等式$x+pk>y+qk$的整数解肯定有无限多个，且它们都满足小等某个整数或大等某个整数。
因此，$x+pk，其中k满足x+pk>y+qk$会便历n的完全剩余系（毕竟p与n互质）。
证完。
完结撒花