2020.8.6-$+\infinity$模拟赛总结&比赛注意事项

最新推荐文章于 2023-01-02 21:27:42 发布
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分类专栏： 归纳总结
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ezoiHQM/article/details/109017113
本文记录了作者参加算法竞赛的心得体会，包括不同日期比赛的得分情况、遇到的问题及解决思路，涉及DP、树形结构、图论等多种算法类型。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

2020.08.06
其实很可做的一套题(30+40+30=100)
A简单缩点，但是人傻最后答案统计出了问题
B要记得有时候问有多少种取法的时候要想想背包
C题做出了一半，另一半没做出来，其实没什么好说（有时候做题可以打表找规律2333）

2020.08.07
还是比较可做(90+95+60=245)
A就是字典序最小的最短路，之前BZOJ那题是水的没写过正解就写得比较垃圾被卡常拿了90分
B题读入量太大没读优95分…读入数量级超过 1 0 6 10^6 106的记得要读优！！！
C题是二维链表，其实挺裸的，但是没想到一维 n 2 n^2 n2的链表到了二维还会是 n 2 n^2 n2，就写了垃圾的n棵splay

2020.08.08
难度开始增大了(100+10+20=130)
A(AGC013-E)题把DP方程列了出来发现矩乘就好了，还推了好久…10^9以上想矩乘
B题是多项式题（其实第一步的DP就没想到…可能是A做太久了），不过就算会DP也想不到多项式。对于一个数列可以考虑生成函数，尤其是一些递推或卷积形式的数列。
C是树上相邻点点权+1和相邻点异或和。学到两个东西
一要记住树上和一个点相邻的所有点有关的操作可以通过父亲存儿子的值与儿子自身的值相加的方法来维护
二是一个维护方法：Trie树上的所有数+1可以从根开始swap左右儿子然后往0儿子递归继续swap

2020.08.10
伪装成NOIP题的毒瘤题(100+0+0=100)
A是二分线段树优化DP
B(ARC064-F)循环移位考虑循环节！！！！ 其它没啥好说的…
C(AGC009-E)挺神的题，考察思维，能想到就nb，想不到直接劝退

2020.08.11
(30+100+10=140)
A(AGC015-D)一样的话，思维题，能想到就nb，想不到直接劝退
B(ARC080-E)比较明显的平衡树操作，但是好像可以用堆+RMQ解决？？？
C(ARC078-F)其实是经典套路，状压的时候dp[S][x]表示几何内到一个点的状态，利用这个点转移

2020.08.12
题水(100+100+100=300)
A用tarjan求割点然后判非割点删掉后边数就行
B有个优化点，有时高维的dp可以把其中没什么用的一维(或更高)压成dp数组的答案
C题也有优化点，数组整体移位的时候可以移动数组的0下标所在的位置

2020.08.13
(90+15+10=115)
A题裸广搜，又被读优坑了…
B题其实是裸的树上背包，但是久了没做把 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)复杂度的做法认成 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)了
树上背包合并子树的时候只要是按当前合并的子树的siz和将要合并的子树的siz进行枚举单次O(1)合并复杂度就是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
C题是按时间为下标的线段树，与BZOJ的shallot一题差不多，下次绝对不错

2020.08.17
全场唯一没A题的…(40+30+30=100)
A题数据随机直接暴力…
B题还是位运算每位互不干扰的特点来dp
C题带参数进树上处理也还是比较简单的
服了自己…

2020.08.18
(0+100+0=100)
A就是树形DP，漏了一种情况…
B是简单结论题，随便做吧
C题在树直径上随便搞搞就好了

2020.08.19
(80+100+100=280)
A题用栈模拟就行（忘清空栈本地过了交上去80分？？？？）
B送分判断
C是权值线段树模板题…

2020.08.22
从NOIP模拟变成省选模拟了…有点神仙…(0+45+0=45)
A题动态点分治，自己不熟…得再写写这种题
B题dp套dp，以前没见过，学到了
C题求1到n最短路是k的图的个数，dfs枚举一下最短路为i的个数然后统计答案就行

2020.09.08
(0+5+0=5)
A题基本思路就是上下两行往前跳，写挂了…
B题是求给定一些点，找点数最多的凸多边形， O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)还是很显然的(n=250竟然能过)，正解调整一下转移的目标只转移极角相邻的点，但会出现三点贡献比较复杂，转化成DAG求最长路。
C是一个非常妙的线段树，用函数的形式写出一系列操作是两条平行线加上一个斜率为1的线段树，然后惊讶地发现这些函数可以相互合并，然后用线段树把一个个操作插进去就好了。

2020.09.10
(20+10+0=30)
A题是原根和分解质因数后根据CRT来分解后合并计数。遇到合数的时候一定要尝试质因数分解看看行不行
B题是反向的循环卷积，DFT完开根。因为开根有正负两种情况，所以要枚举根，由于对称性只需枚举一般，可以状压枚举。下次千万要对循环卷积敏感点
C是经典最大权闭合子图，但是太菜了自己以前不会…

2020.09.12
(15+0+0=15)
A题是一数学题，正解是偏导然后求出一层层的关系式来求，TJY大佬提供了一个优秀的二次函数一次次嵌套的做法很妙，但这种题比较少考
B题场上一直在推没推出来，结果栽在没想到结论…于是整题崩盘…之后是常规的质因数分解和线段树
C题是码农题…考场没看，事后想想还挺简单，不过还是调了5h…（场上写不出来的意思，需要提升码力）

2020.09.13
小火车的题(0+0+100=100)
A题一堆DP真的想不到，太强了。不过一个常见思路用于计数一定要学到：求 ∑ i f i \sum if_i ∑ifi​的时候可以求小于等于i的所有 f i f_i fi​之后累加就可以得到答案
B题循环移位类的题。循环节循环节循环节又忘了…然后容斥一下可以用杜教筛解决
C题是经典的扔鸡蛋问题，但是数据范围比较大，于是打表找规律然后发现k很大的时候答案相同的n增长速度很快，所以k很大的时候可以预处理然后二分，k很小的时候可以直接暴力。

2020.09.16
(0+0+0=0)
一直在刚A结果没刚出来…后来才发现C的k<=50，还是得先把所有题仔细审一遍再判断哪道题适合自己
好吧其实A也不难只是自己太菜了…求向一个矩阵(边长10000)填入1-m的数满足n(n<=10)个条件（限制矩阵的最大值）很明显状压，然后通过矩阵的交集来容斥出矩阵并集包含多少格子，然后再一个容斥求方案。
B题是矩阵内选一些点改变这个点和按马行走方式一次能到达的点的开关状态求全部点状态由0变为1的方案数。想到了两两相关可能要列方程消元但不知道怎么表示，却发现自己忽略了异或和加法是类似的，列出异或方程求解。但是点数太多吃不消，就发现实际上整张图是可以通过两行和一列推出来的，然后点数就化简成n+m级别就可以bitset优化高斯消元了
C题是区间set操作和区间询问长度小于等于k的回文串个数，其中k是定值，小于等于50。正解是中间线段树两边Manacher，其实挺好想，自己由最朴素的dp想了一个把k个状态状态压成一个unsigned long long来对两边dp处理，不过在统计答案的时候需要统计1的个数比正解一个log，但是由于这种做法常数非常优秀在实测的时候还是比正解快了很多

2020.09.19
(30+100+0=130)
我人傻了A题30行区间DP模板题我不会做？？？（可能太久没做了的原因吧，总之真的难以原谅）
B题给定一个只含0-9的循环节然后无限循环，要求实现修改循环节的一位和区间( l , r < = 1 0 18 l,r<=10^{18} l,r<=1018)内的每一个区间的交错和。就是对于每个 l < = x < = y < = r l<=x<=y<=r l<=x<=y<=r都要求(x,y)的交错和，交错就是一个正一个负得加。推一推会发现偶数位的最终会全部消掉，奇数位的会乘一个等差数列的权值后相加，然后就大力分类奇偶来线段树就好了。题解把循环节背长了避免了很多复杂的讨论，但是我没想到…
C题是神奇提答，就是给定一些点求直线斯坦纳树，前4个点n<=8，后4个点n<=50000但是所有点都在两行上。前四个点直接裸的斯坦纳树或者人工构造即可，后四个点题解是O(n)的DP，没看懂，但是由于是本地50000可以接受 n 2 n^2 n2，所以其实有个比较简单的 n 2 n^2 n2DP，直接看上下两行点到哪，是否联通，直接DP就行了，但是因为要输出方案实现起来比较复杂。
2020.09.20
(100+0+0=100)
A题签到轮换
B题是给定一个trie求trie上的串的LCS+LCP的最大值，可以用广义后缀数组或者广义后缀自动机+线段树合并（挺常规的题目但是没想到…）
C题与没有人的算术类似的利用替罪羊树动态标号，结果我们这些写一个log的全写挂了，LZH大佬写了两个log切掉了

2020.09.23
(100+0+0=100)
A题给定一个排列，问有多少个连续数段恰好是两个区间内的数的集合。线段树维护x-i的数段至少需要分成几个区间，然后维护区间最小和次小，最后减去n就是答案。这里有一个求固定k个数（为所有取值中k最值，k为小常数）的方案数，维护最小值、次小值、…、k小值及其个数即可
B题是平衡树维护DP的差分数组，不止是维护序列的时候，有时一些东西如果不好维护可以考虑差分后维护再求前缀和
C题求树上每个点到每种颜色距离最大的点的距离和。先求出每种颜色的直径，然后就可以简便地算。有一个技巧：求子树内的权值和如果是先全部修改完再查询可以类似求siz一样dfs一遍

2020.09.26

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【校内模拟】层层回忆（线段树合并）
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11-01 255
简要题意： 给你一棵有根树，每个点uuu有正数权值aua_uau​，定义一个点uuu的权值fuf_ufu​为其子树中点的aaa之和。 对于两个点u,vu,vu,v，我们称uuu能到达vvv当且仅当fuf_ufu​与该路径上fff的最大值和最小值都不相等。 对于每个点uuu，请你求出所有它能达到的所有点的fff值按位或的结果。 题解： 如果是异或可能会好做一点。 由于是按位或而不是异或，没有逆运算，...
（每日一题）CF1139D Steps to One && 2021年天梯赛 L3-3 可怜的简单题（期望，莫比乌斯反演，杜教筛）
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05-10 2550
整理的算法模板合集： ACM模板 点我看算法全家桶系列！！！ 实际上是一个全新的精炼模板整合计划 一周连考三门，人都没了 Weblink 2021年天梯赛 L3-3 可怜的简单题 CF1139D Problem Solution 数据较大，要用快速乘不然会爆 long long Code #include &lt;bits/stdc++.h&gt; using namespace std; #define ll long long const int N = 21544400 + 7; #de
【bzoj1835】【ZJOI2010】【基站选址】【dp+线段树】
sunshinezff的专栏
06-29 1358
Description 有N个村庄坐落在一条直线上，第i(i>1)个村庄距离第1个村庄的距离为Di。需要在这些村庄中建立不超过K个通讯基站，在第i个村庄建立基站的费用为Ci。如果在距离第i个村庄不超过Si的范围内建立了一个通讯基站，那么就成它被覆盖了。如果第i个村庄没有被覆盖，则需要向他们补偿，费用为Wi。现在的问题是，选择基站的位置，使得总费用最小。 输入数据 (base.in) 输入文件
20200718模拟赛 T2 树论【换根】
Master.Yi的博客
07-18 225
题目描述 题目分析 读错了两遍题意。。。 加棋子和换根都是对后面有影响的。换根之后子树会变化。 把棋子看做一个个独立游戏，一个点的棋子的SG值是子树最大高度（到子树中最远点的距离）。因为棋子可以放到子树中除自己外任何一个点，很容易看出来。 记 xxx 到以1为根时的子树中最深的点的距离为 hxh_xhx​ 当根从 1 换到 xxx 的子树中时，xxx 的SG值会变化，这个变化与换到了 xxx 的哪个儿子中有关，不妨重链剖分，记 cxc_xcx​ 为当根换到 xxx 的重儿子子树内之后 xxx 的SG值
2020.4.08 C组模拟赛题解
绫
05-15 2018
目录： T1：Social Distancing 1 T2：Social Distancing 2 T3：Cowntact Tracing “Social Distancing”即“社会距离”标题就深刻说明这次防疫需要保持距离，不密切接触。实在是 妙！ 正题： T1：Social Distancing 1 题目描述 一种新型疾病，COWVID-19，开始在全世界的奶牛之间传播。Farmer John 正在采取尽可能多的预防措施来防止他的牛群被感染。 Farmer John 的牛棚是一个狭长的建筑物，有一排
HTML5和CSS3 WEB技术开发
张晨光老师的播客
01-02 7190
B站视频参考：https://www.bilibili.com/video/BV1H44y1k7ze/[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Uwbid43Z-1672665963237)(asseits/image-20210831212039584.png)]HTML:超文本标记语言(Hyper Text Markup Language)，标准通用标记语言下的一个应用。 HTML 不是一种编程语言（C、Java、python、R等），而是一种标记语言 (markup
【CSP-J_S2复赛：算法优化至高境界】：2023年最新题解与解题策略大公开
[2020年CSP-J2 CSP-S2 复赛题解-2020.11.12.pdf](https://ksmeow.moe/wp-content/uploads/2019/11/floor8-in-south1-1024x539.jpg?v=1574239210) # 摘要 CSP-J_S2复赛是中国青少年信息学奥林匹克竞赛的重要组成部分...
Codeforces Round #548 (Div. 2) 1139 D+2021天梯赛l3-3 解题报告（负二项式分布+莫比乌斯容斥+杜教筛（天梯赛））
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以下是我这道题的思考过程： （1）、若选到1，那直接就能结束了。 （2）、若选到其他的数，则我们需要继续选下去，直到选到一个和前面的一个数互质的数。想到互质，可以想到和质数相关。 思考极限情况，我们可以想象这一过程：不停地选数，在这个过程在，我们保持选到的数的都是某一个数x的倍数，直到选到一个数不为x的倍数就结束。 这一过程其实就是概率论中的负二项式分布: 实验包含一系列独立的实验。 每个实验都有成功、失败两种结果。 成功的概率p是恒定的。 实验持续到r次失败，r可以为任意正数。 则X~NB(r,p
2022.3.17模拟赛总结
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03-17 575
时间安排 7.30-7.44 开题 T1像个树形背包 T2显然的杜教筛吧 T3后缀自动机 感觉都好难又都不是好难 7.44-8.04 写完T1 20分 8.08-8.26 写完T2暴力 1e7不可过 8.26-8.43 写完T3 20分 8.43-8.52 试图推T1的dp方程，但有点混乱 8.52-9.08 写完T3 40分，利用单调性二分 9.08-9.13 对拍测时完成 9.13-10.50 猛攻T3，写了个时间上的假做法，会被卡掉但我可以骗，实测在O2下随机数据 60% 0.22s 80% 2.23
[位运算] [搜索] [递推优化] [计算几何] TEST 2016.7.15
weixin_30725315的博客
07-15 137
NOIP2014 提高组模拟试题 第一试试题 题目概况： 中文题目名称 合理种植 排队 科技节 源程序文件名 plant.pas/.c/.cpp lineup.pas/.c/.cpp scifest.pas/.c/.cpp 输入文件名 plant.in ...
[BZOJ3242][Noi2013]快餐店（树形dp+线段树）
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我要有能做我自己的自由，和敢做我自己的胆量。
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12-16 377
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2016.5.14【初中部 NOIP提高组 】模拟赛C总结
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2020年蓝桥杯第一次校内模拟赛题解与笔记
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03-22 2490
1. 问题描述 　　在计算机存储中，15.125GB是多少MB？ 答案提交 　　这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。 答案：15448 解析：单位换算乘上1024即可 2. 问题描述 　　1200000有多少个约数（只计算正约数）。 答案提交 　　这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果...
7.12模拟赛总结
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07-12 267
好困 真的好困 眼睛要睁不开了
a*0.001+(a-a*0.001)*0.001+(a-(a-a*0.001)*0.001)*0.001...
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07-22
&lt;think&gt;首先，用户意图是计算一个数学表达式序列的值，涉及重复应用乘法和减法操作。用户的问题是：计算序列 \( a \times 0.001 + (a - a \times 0.001) \times 0.001 + (a - (a - a \times 0.001) \times 0.001) \times 0.001 \) 的通项公式或总和。 序列似乎是： 第一项：\( a \times 0.001 \) 第二项：\( (a - a \times 0.001) \times 0.001 \) 第三项：\( (a - (a - a \times 0.001) \times 0.001) \times 0.001 \) 用户提到了&ldquo;序列&rdquo;，但只给出了三项。可能这是一个部分和序列，或者是无限级数。用户要求通项公式或总和，所以我需要找出这个序列的模式并推导出通项或总和。 让我简化表达式。设 \( k = 0.001 \)，这样更容易处理。所以序列是： 1. \( a k \) 2. \( (a - a k) k = a k (1 - k) \) 3. \( (a - (a - a k) k) k = (a - a k (1 - k)) k \) 计算第三项： \( (a - (a - a k) k) k = (a - a k + a k^2) k = (a(1 - k + k^2)) k = a k (1 - k + k^2) \) 类似地，第一项是 \( a k \) 第二项是 \( a k (1 - k) \) 第三项是 \( a k (1 - k + k^2) \) 第四项会是： \( (a - \text{previous expression}) \times k \) 但序列是累加的和，用户给出了一个表达式：a*0.001 + (a - a*0.001)*0.001 + (a - (a - a*0.001)*0.001)*0.001，这看起来像是前三个项的和。 用户说&ldquo;序列&rdquo;，但表达式是三个项的和。可能用户想求这个部分和，或者无限级数的总和。 用户提到&ldquo;通项公式或总和&rdquo;，所以我需要定义序列。 假设序列 \( s_n \) 是前 n 项的和，但用户给出了一个具体表达式。 或许序列是定义如： 令 \( s_1 = a k \) 然后 \( s_2 = s_1 + (a - s_1) k \) 但用户表达式是：第一项 + 第二项 + 第三项，其中第二项基于 a 减去第一项，第三项基于 a 减去第二项？不，看表达式： 用户表达式：a*0.001 + (a - a*0.001)*0.001 + (a - (a - a*0.001)*0.001)*0.001 设 b1 = a * 0.001 b2 = (a - b1) * 0.001 b3 = (a - b2) * 0.001？不，在表达式中，第三项是 (a - (a - a*0.001)*0.001)*0.001，而 (a - a*0.001)*0.001 是 b2，所以 b3 = (a - b2) * 0.001 在用户表达式中，是 b1 + b2 + b3，其中： b1 = a * k b2 = (a - b1) * k b3 = (a - b2) * k 但 b2 = (a - b1) k, b3 = (a - b2) k 所以序列 b_n 定义为： b1 = a k b2 = (a - b1) k b3 = (a - b2) k 一般来说，b_{n} = (a - b_{n-1}) k for n &gt;=2, with b1 = a k 然后部分和 s_n = sum_{i=1}^n b_i 用户给出了 s3 的表达式。 用户要求&ldquo;序列&rdquo;的通项或总和，可能指的是 b_n 或 s_n。 由于操作重复，可能这是一个无限级数，总和是当 n 趋近于无穷大。 让我推导 b_n 的通项公式。 从定义： b1 = a k b2 = (a - b1) k = (a - a k) k = a k (1 - k) b3 = (a - b2) k = (a - a k (1 - k)) k = a k (1 - k(1 - k)) = a k (1 - k + k^2) b4 = (a - b3) k = (a - a k (1 - k + k^2)) k = a k (1 - k(1 - k + k^2)) = a k (1 - k + k^2 - k^3) 所以 b_n = a k (1 - k + k^2 - k^3 + ... + (-1)^{n-1} k^{n-1}) = a k \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i k^i 求和从 i=0 到 n-1 的 (-1)^i k^i 这是一个几何级数，首项为 1，公比 -k。 所以 b_n = a k \frac{1 - (-k)^n}{1 - (-k)} = a k \frac{1 - (-k)^n}{1 + k} 因为 1 - (-k) = 1 + k。 现在，部分和 s_n = sum_{j=1}^n b_j = sum_{j=1}^n a k \sum_{i=0}^{j-1} (-1)^i k^i 这有点复杂。s_n 是部分和。 由于每个 b_n 依赖于前一个，但 s_n 是累计和。 用户可能想要无限级数的总和，因为在实际应用中，k=0.001 很小，n 很大。 但用户要求通项或总和。 从表达式看，用户给出了三项的和，所以可能想求 s_n。 定义 s_n 的递推。 设 s_n 为前 n 项的和。 s1 = b1 = a k s2 = s1 + b2 = s1 + (a - s1) k？b2 = (a - b1) k，但 b1 是 s1，因为 s1 = b1。 s1 = b1 s2 = b1 + b2 = b1 + (a - b1) k s3 = b1 + b2 + b3 = s2 + b3 = s2 + (a - b2) k 但 b2 不是 s2。 这有点乱。 由于 b_n = (a - b_{n-1}) k，其中 b1 = a k 所以 b_n = a k (1 - k)^{n-1}？不是。 从模式：b1 = a k b2 = a k (1 - k) b3 = a k (1 - k + k^2) b4 = a k (1 - k + k^2 - k^3) 所以 b_n = a k \sum_{i=0}^{n-1} (-k)^i 如前所述。 然后 s_n = \sum_{m=1}^n b_m = \sum_{m=1}^n a k \sum_{i=0}^{m-1} (-k)^i = a k \sum_{m=1}^n \sum_{i=0}^{m-1} (-k)^i 交换求和顺序。 对于固定 i，当 m-1 &gt;= i 时，即 m &gt;= i+1，所以 m 从 i+1 到 n。 所以 \sum_{m=1}^n \sum_{i=0}^{m-1} (-k)^i = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{m=i+1}^n (-k)^i 因为对于每个 i，内部求和是 (-k)^i，而 m 从 i+1 到 n，所以有 (n - i) 项。 所以 \sum_{m=1}^n \sum_{i=0}^{m-1} (-k)^i = \sum_{i=0}^{n-1} (n - i) (-k)^i 因此 s_n = a k \sum_{i=0}^{n-1} (n - i) (-k)^i 这有点复杂。 当 n 很大时，无限级数的总和为 s_infinity = \sum_{m=1}^\infty b_m 由于 b_n = a k \frac{1 - (-k)^n}{1 + k}，当 n&rarr;&infin;，若 |k|&lt;1，则 (-k)^n &rarr; 0，所以 b_n &rarr; a k / (1 + k) 但 b_n 是项，不是总和。 总和 s_infinity = \sum_{n=1}^\infty b_n b_n 收敛到 a k / (1 + k)，但级数 \sum b_n 可能收敛。 b_n = a k \sum_{i=0}^{n-1} (-k)^i 当 n&rarr;&infin;，b_n &rarr; a k / (1 + k)，但 \sum b_n 是求和。 s_n = \sum_{m=1}^n b_m = \sum_{m=1}^n a k \frac{1 - (-k)^m}{1 + k} = \frac{a k}{1 + k} \sum_{m=1}^n (1 - (-k)^m) = \frac{a k}{1 + k} \left( \sum_{m=1}^n 1 - \sum_{m=1}^n (-k)^m \right) = \frac{a k}{1 + k} \left( n - \frac{ (-k) (1 - (-k)^n) }{1 - (-k)} \right) 简化：1 - (-k) = 1 + k，所以 \sum_{m=1}^n (-k)^m = (-k) \frac{1 - (-k)^n}{1 - (-k)} = (-k) \frac{1 - (-k)^n}{1 + k} 因此 s_n = \frac{a k}{1 + k} \left( n - \frac{ (-k) (1 - (-k)^n) }{1 + k} \right) 这很混乱。 对于无限级数，s_infinity = \lim_{n\to\infty} s_n 但 s_n 有 n 项，当 n 很大时会发散，因为有一个 n 项。 例如，如果 k 很小，b_m 近似为 a k，所以 s_n 近似为 n a k，它随 n 增大而增大。 但在用户表达式中，只有三项，所以可能用户想要一个闭式表达式。 另一个想法：也许这个序列表示一个过程，其中每一步都从 a 中减去一个比例，但这里是从剩余中减去一个比例。 在表达式中，b1 是 a 的 k 部分，b2 是剩余 (a - b1) 的 k 部分，以此类推。 所以剩余部分在减少。 设 r0 = a 然后 b1 = r0 * k r1 = r0 - b1 = r0 (1 - k) b2 = r1 * k = r0 (1 - k) k r2 = r1 - b2 = r0 (1 - k) - r0 (1 - k) k = r0 (1 - k)(1 - k) = r0 (1 - k)^2？不对。 r1 = r0 (1 - k) b2 = r1 * k = r0 (1 - k) k r2 = r1 - b2 = r0 (1 - k) - r0 (1 - k) k = r0 (1 - k) (1 - k)？不对：r0 (1 - k) - r0 (1 - k) k = r0 (1 - k) (1 - k)？1 - k 减去 (1 - k)k 不是 (1 - k)^2。 r2 = r1 - b2 = [r0 (1 - k)] - [r0 (1 - k) k] = r0 (1 - k) (1 - k)？不对，[r0 (1 - k)] (1 - k) 只有当 b2 = r1 * k 时成立，但 r1 - b2 = r1 (1 - k) 仅当 b2 是 r1 的一部分时成立。 b2 = r1 * k，所以 r2 = r1 - b2 = r1 - r1 k = r1 (1 - k) 类似地，r1 = r0 (1 - k) 所以 r2 = r1 (1 - k) = r0 (1 - k)^2 b3 = r2 * k = r0 (1 - k)^2 k 等等。 所以 b_n = r_{n-1} * k，其中 r_{n-1} = a (1 - k)^{n-1} b1 = r0 * k = a k b2 = r1 * k = a (1 - k) k b3 = r2 * k = a (1 - k)^2 k 所以 b_n = a k (1 - k)^{n-1} 哦！所以通项公式是 b_n = a k (1 - k)^{n-1} 在用户表达式中，对于 n=1：a k n=2: (a - a k) k = a (1 - k) k，即 b2 n=3: (a - b2) k，但 b2 = a (1 - k) k，所以 (a - a (1 - k) k) k 但根据 b3 = a (1 - k)^2 k 在用户表达式中，第三项是 (a - (a - a*0.001)*0.001)*0.001 = (a - b2) * k 并且 b2 = a (1 - k) k，所以 (a - a (1 - k) k) k = a [1 - (1 - k) k] k 但 b3 = a (1 - k)^2 k = a (1 - 2k + k^2) k 而 1 - (1 - k)k = 1 - k + k^2，所以 a (1 - k + k^2) k，这与之前一致，但根据剩余部分，b3 应该是 a (1 - k)^2 k = a (1 - 2k + k^2) k，而 a (1 - k + k^2) k 是相同的，因为 1 - k + k^2 与 1 - 2k + k^2 不同。 错误。 b3 = a (1 - k)^2 k = a (1 - 2k + k^2) k 但根据用户表达式，第三项是 (a - b2) k，其中 b2 = a (1 - k) k，所以 a - b2 = a - a (1 - k) k = a [1 - (1 - k)k] = a [1 - k + k^2] 然后 (a - b2) k = a (1 - k + k^2) k 但 a (1 - k + k^2) k 与 a (1 - 2k + k^2) k 不同，所以存在矛盾。 我想我搞混了。 在用户表达式中，序列定义为： 第一项：a*k 第二项：(a - 第一项) * k = (a - a*k)*k 第三项：(a - 第二项) * k = (a - [ (a - a*k)*k ] ) * k 所以第二项是 (a - b1)*k，其中 b1 是第一项。 第三项是 (a - b2)*k，其中 b2 是第二项。 所以 b_n = (a - b_{n-1}) * k，其中 b1 = a*k 所以 b1 = a*k b2 = (a - b1) k b3 = (a - b2) k 等等。 而 b_n 不等于 a k (1-k)^{n-1}，因为当 n=2 时，b2 = a k (1-k)，但当 n=3 时，b3 = a k (1 - k + k^2)，而 a k (1-k)^2 = a k (1 - 2k + k^2)，这不一样。 所以通式是 b_n = a k \sum_{i=0}^{n-1} (-k)^i 对于部分和 s_n = \sum_{j=1}^n b_j 从递推式来看，s_n = s_{n-1} + b_n，但 b_n = (a - b_{n-1}) k 但 b_{n-1} 是第 (n-1) 项，不是部分和。 由于 b_n = (a - b_{n-1}) k，我们可以求解这个递推式。 b_n = (a - b_{n-1}) k b_n = a k - k b_{n-1} 这是一个线性递推式：b_n + k b_{n-1} = a k 齐次解：b_n^{(h)} = A (-k)^n 特解：常数，b = a k / (1 + k)，因为 b + k b = a k，所以 b(1+k) = a k，b = a k/(1+k) 所以通解 b_n = A (-k)^n + a k/(1+k) 由 b1 = a k b1 = A (-k) + a k/(1+k) = a k 所以 -A k + a k/(1+k) = a k 两边除以 k（假设 k&ne;0）：-A + a/(1+k) = a - A = a - a/(1+k) = a [1 - 1/(1+k)] = a [ (1+k) - 1 ]/(1+k) = a k/(1+k) 所以 -A = a k/(1+k) A = - a k/(1+k) 因此 b_n = [ - a k/(1+k) ] (-k)^n + a k/(1+k) = a k/(1+k) [ 1 - (-k)^n ] 如前所述。 现在部分和 s_n = sum_{j=1}^n b_j = sum_{j=1}^n a k/(1+k) [ 1 - (-k)^j ] = a k/(1+k) [ sum_{j=1}^n 1 - sum_{j=1}^n (-k)^j ] = a k/(1+k) [ n - (-k) \frac{1 - (-k)^n}{1 - (-k)} ] 由于 1 - (-k) = 1+k，所以 sum_{j=1}^n (-k)^j = (-k) \frac{1 - (-k)^n}{1+k} 因此 s_n = a k/(1+k) [ n - (-k) \frac{1 - (-k)^n}{1+k} ] = a k/(1+k) n - a k/(1+k) (-k) \frac{1 - (-k)^n}{1+k} = a k/(1+k) n + a k^2/(1+k)^2 [1 - (-k)^n] 对于用户的三项和，n=3，k=0.001 但用户要求通项公式或总和。 在上下文中，k=0.001 很小，所以对于大的 n，s_n 很大，但也许对于固定 n，我们可以计算。 但用户说&ldquo;序列&rdquo;，并给出表达式，所以可能想要 s_n 的闭式表达。 或者无限级数的总和，但 s_n 随 n 增加而增加。 另一个想法：在用户表达式中，它是 b1 + b2 + b3，其中每个 b_i 是剩余的比例，但总和 s_n 表示前 n 步提取的总量。 当 n 很大时，s_infinity = lim s_n，但 s_n 有 n 项，所以发散。 例如，如果 k=0.001，a=1000，b1=1，b2= (1000-1)*0.001=999*0.001=0.999，b3= (1000 - 0.999)*0.001=999.001*0.001=0.999001，等等，所以 b_n 趋近于 a k/(1+k) &asymp; 1*1000/1001&asymp;0.999，但 sum b_n 发散，因为项不趋近于 0？b_n 趋近于 a k/(1+k) &gt; 0，所以 sum b_n 发散，是的。 但在实际中，对于提取，总和是有限制的。 也许用户想要的是剩余部分，但问题问的是所给表达式的值。 对于给定的 n，我们可以计算 s_n。 对于用户，k=0.001，n=3，所以 s3 = b1 + b2 + b3 b1 = a * 0.001 b2 = (a - a*0.001)*0.001 = a(1-0.001)*0.001 b3 = (a - b2)*0.001 = (a - a(1-0.001)*0.001)*0.001 所以 s3 = a*0.001 + a(1-0.001)*0.001 + [a - a(1-0.001)*0.001]*0.001 令 m = 0.001，所以 s3 = a m + a(1-m)m + [a - a(1-m)m] m = a m + a(1-m)m + a m - a(1-m) m^2 = 2a m + a(1-m)m - a(1-m) m^2 = 2a m + a m (1-m) - a m^2 (1-m) = a m [ 2 + (1-m) - m (1-m) ] = a m [ 2 + 1 - m - m + m^2 ] = a m [ 3 - 2m + m^2 ] 所以 s3 = a * 0.001 * (3 - 2*0.001 + (0.001)^2) 对于一般的 n，s_n = a k/(1+k) [ n - (-k) (1 - (-k)^n)/(1+k) ] 如前所述。 但可以简化。 由于 b_n = a k (1 - (-k)^n)/(1+k)，所以 s_n = sum_{j=1}^n a k (1 - (-k)^j)/(1+k) = a k/(1+k) [ n - sum_{j=1}^n (-k)^j ] sum_{j=1}^n (-k)^j = (-k) (1 - (-k)^n)/(1+k) 所以 s_n = a k/(1+k) [ n - (-k) (1 - (-k)^n)/(1+k) ] = a k/(1+k) n + a k^2/(1+k)^2 (1 - (-k)^n) 对于大的 n，如果 |k|&lt;1，(-k)^n -&gt;0，所以 s_n &asymp; a k/(1+k) n + a k^2/(1+k)^2 但 a k/(1+k) n 是主导项。 对于用户的问题，既然给出了表达式，也许他们想要一个闭式表达，或者数值计算，但 a 是变量。 用户要求&ldquo;通项公式或总和&rdquo;，所以可能对于序列 b_n 或 s_n。 在上下文中，这可能与财务计算或迭代衰减有关。 但为了回答，我可以提供 b_n 和 s_n 的通式。 对于 b_n：b_n = a k \frac{1 - (-k)^n}{1 + k}，其中 k=0.001 对于 s_n：s_n = a k \frac{1}{1+k} \left( n - \frac{ (-k) (1 - (-k)^n) }{1+k} \right) + C，但根据之前推导。 s_n = \frac{a k}{1+k} n + \frac{a k^2}{(1+k)^2} (1 - (-k)^n) 当 n=3 时，s3 = \frac{a k}{1+k} *3 + \frac{a k^2}{(1+k)^2} (1 - (-k)^3) 由于 k=0.001 很小，(-k)^3 非常小，所以 s3 &asymp; 3a k - 3a k^2 + a k^2 + 高阶项，但根据表达式。 对于用户，我可以给出三項和的值。 但用户要求&ldquo;序列&rdquo;的&ldquo;通项公式或总和&rdquo;，所以可能提供 b_n 和 s_n 的公式。 另外，用户要求使用网络搜索，但这是一个数学推导，可能不需要搜索，但根据任务，我需要调用网络搜索工具。 任务说：&ldquo;通过调用网络搜索工具进行检索&rdquo;，但这是一个数学问题，可能没有直接结果。 也许搜索等比数列或迭代公式。 但为了这个目的，我可以推导出来。 对于回答，我需要生成一个包含方法和步骤的清晰回答。 首先，理解序列：该序列定义为 b₁ = a &times; 0.001，bₙ = (a - bₙ₋₁) &times; 0.001，其中 n &ge; 2，而部分和 sₙ = &sum;ᵢ₌₁ⁿ bᵢ。 通项 bₙ 为： bₙ = a k \frac{1 - (-k)^n}{1 + k}，其中 k = 0.001 前 n 项的总和 sₙ 为： sₙ = \frac{a k}{1+k} n + \frac{a k^2}{(1+k)^2} [1 - (-k)^n] 对于给定的三項和，代入 n=3, k=0.001。 由于 k 很小，(-k)^n 可以忽略，所以 sₙ &asymp; \frac{a k}{1+k} n + \frac{a k^2}{(1+k)^2} 但 \frac{a k}{1+k} &asymp; a k (1 - k + k&sup2; - ...) &asymp; a k - a k&sup2; 等等。 对于回答，我可以这样组织： 1. 序列的通项公式为： $$ b_n = a k \frac{1 - (-k)^n}{1 + k} $$ 其中 $k = 0.001$。 2. 前 n 项和的公式为： $$ s_n = \frac{a k}{1+k} n + \frac{a k^2}{(1+k)^2} \left(1 - (-k)^n\right) $$ 3. 对于用户表达式（n=3）： $$ s_3 = a \times 0.001 \times \left(3 - 2\times0.001 + (0.001)^2\right) = a \times 0.001 \times (3 - 0.002 + 0.000001) = a \times 0.001 \times 2.998001 $$ 所以 s₃ = 0.002998001 a 但用户可能想要一个公式。 对于相关问题部分，需要基于此提出三个问题。 最后，添加相关问题。 回答格式：避免第一人称，使用步骤，步骤之间换行，数学公式使用 $...$ 或 $$...$$。 代码如果有的话，但这里可能不需要。 现在，生成回答。&lt;/think&gt;序列的通项公式和总和可以通过分析重复乘法和减法操作的模式推导。设 $k = 0.001$，序列定义为 $b_1 = a k$，$b_n = (a - b_{n-1}) k$（$n \geq 2$），部分和 $s_n = \sum_{i=1}^n b_i$。用户表达式对应 $s_3$。 序列通项公式为： $$ b_n = a k \frac{1 - (-k)^n}{1 + k} $$ 其中 $k = 0.001$，$n$ 表示项序号。 前 $n$ 项部分和公式为： $$ s_n = \frac{a k}{1+k} n + \frac{a k^2}{(1+k)^2} \left(1 - (-k)^n\right) $$ 当 $n$ 较大时，$|k| &lt; 1$，$(-k)^n$ 项趋近于零，总和可近似为： $$ s_n \approx \frac{a k}{1+k} n + \frac{a k^2}{(1+k)^2} $$ 对于用户表达式（$n=3$，$k=0.001$）： $$ s_3 = a \times 0.001 \times (3 - 2 \times 0.001 + (0.001)^2) = a \times 0.001 \times (3 - 0.002 + 0.000001) = a \times 0.001 \times 2.998001 $$ 因此 $s_3 = 0.002998001a$。 由于 $k$ 较小，$s_3$ 可近似为 $3a k - 2a k^2$，但使用完整公式更精确。
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