一个蒟蒻的博客

问题: 已知点(x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn)(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)(x0​,y0​),(x1​,y1​),...,(xn​,yn​)，求一个经过这n个点的n次多项式。一种做法是设出这个多项式，然后将n个点带入得到n个方程，然后用高斯消元在O(n3)O(n^3)O(n3)的时间求出。但是复杂度太高了，所以就有了拉格朗日插值这种优秀算法。注意，部分定义不保证严谨性，但是不影响拉格朗日插值法的应用设lj(x)l_j(x)lj​(x)为jj

多项式的表示1 系数表示法设是一个关于的次多项式，则：2 点值表达法我们可以把次多项式看作一个函数，那么它可以用平面直角坐标系上的个点来确定。我们把这个点代入，我们就可以得到一个元一次方程组，然后通过高斯消元就可以确定这个多项式。系数表达法的多项式乘法时间复杂度显然是的，但是点值表达法的多项式的乘法的时间复杂度却是的（两个多项式的每一个点的横坐标都相等）。那我们就会希望可以...

如果还不会FFT的话，请先学习完FFT之后再来学习NTT。FFT可以帮助我们快速地将多项式从系数表达变换成点值表达。但由于涉及浮点数运算，我们需要对一些数取模时，不能一边计算一边取模，所以有可能会爆炸。而且我们有时候也会因此丢失精度，导致结果错误。但是NTT是利用一些特殊的模数，基于数论来进行变换，过程中所使用的都是整数，所以不存在这些问题。阶对于的整数，满足的最小整数,称为模的阶。...

定义：对正整数，欧拉函数是小于等于的数中与互质的数的数目，又称函数。例如。引理：如果为某个素数，则。 如果为某个素数的幂次。 函数为积性函数。 设为正整数的素数幂乘积表达式，则：。证明都不难，自己推一推吧。由引理1,2,3，我们不难可以想到怎么对欧拉函数进行线性筛。代码如下：int n,m,cnt,ans,x,y,phi[N],prm[N],vis[N];void ...

任意模数FFT如果模数不是一些NTT的模数，那我们又如何解决呢？（当然用拆位FFT也可以做，但是我没写过）首先我们知道有个东西叫中国剩余定理。我们可以选取多个模数先用NTT求一下，然后再用中国剩余定理合并。一般取三个模数。但是要注意的一点，我们在合并的时候可能会炸long long，所以我们需要使用快速乘来解决。模板：#include<cstdio&a

数论函数的定义：在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。（摘自百度百科）（其实我们只需要知道这是定义域为正整数的函数就OK了）以下写的函数都是数论函数数论函数加法：(f+g)(n)=f(n)+g(n)(f+g)(n)=f(n)+g(n)(f+g)(n)=f(n)+g(n)数论函数数乘：(λf)(n)=λ⋅f(n)(λ为常数)(\...

前置知识：狄利克雷卷积、线性筛积性函数的定义若数论函数fff满足∀a⊥b,f(a)⋅f(b)=f(ab)\forall a\perp b,f(a)\cdot f(b)=f(ab)∀a⊥b,f(a)⋅f(b)=f(ab)，则fff是一个积性函数完全积性函数：若数论函数fff满足∀a,b∈Z+,f(a)⋅f(b)=f(ab)\forall a,b\in Z_+,f(a)\cdot f(b)=f(a...

莫比乌斯函数的定义：μ(x)={1,n=1(−1)k,n=p1p2...pk，其中p1,p2,...,pk为互不相同的素数0,其他情况\mu(x)=\begin{cases}1,n=1\\(-1)^k,n=p_1p_2...p_k，其中p_1,p_2,...,p_k为互不相同的素数\\0,其他情况\end{cases}μ(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​1,n=1(−1)k,n=p1​p2​...pk...