仅用减法及倒数运算实现所有算术运算

仅用减法及倒数运算实现所有算术运算
给出减法及倒数运算，如何实现加、减、乘、除等运算？
定义减法运算如下：
sub(x, y)
{
   return x-y;
}
定义倒数运算如下：
recip(x)
{
 assert(x != 0);
 return 1/x;
}
其中倒数运算的定义域为x!=0的数（具体是整数还是浮点数等我们不加探讨）。
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加法的推导
由于
 x+y=x-(-y)
且
 -y=0-y
从而我们有：
neg(x)
{
 return sub(0, x);
}

add(x,y)
{
 t=neg(y);
 return sub(x,t);
}
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乘法的推导
由
 1/x-1/y=(y-x)/xy
可知，若y=x+1，则
 1/x-1/(x+1)=1/x(x+1)
从而，
 x(x+1)=1/[1/x-1/(x+1)]
 x*x=1/[1/x-1/(x+1)]-x
同理，
 y*y=1/[1/y-1/(y+1)]-y
 (x+y)*(x+y)=1/[1/(x+y)-1/(x+y+1)]-(x+y)
从而
 2*x*y=(x+y)*(x+y)-x*x-y*y
又由于
 1/x*y=1/2*x*y+1/2*x*y
从而我们可以导出乘法操作
 x*y=1/(1/2*x*y+1/2*x*y)
注意到在上面的求平方运算中x!=0,1，因此，对于这两个数的平方运算需要特殊处理，同样，在求乘法的运算中，x,y均不能等于0，因此，这两种特殊情况也需要处理。
下面是计算平方及乘法的程序：
sqr(x)
{
 if (x==0) return 0;
 if (x==-1) return 1;

 t1 = recip(x);
 t2 = add(x,1);
 t3= recip(t2);
 t4 = sub(t1,t3);
 t5 = recip(t4);
 return sub(t5,x);
}

mul(x,y)
{
 if (x==0 || y==0) return 0;

 t1=add(x,y);
 t2=sqr(t1);
 t3=sqr(x);
 t4=sqr(y);
 t5=sub(t2,t3);
 t6=sub(t5,t4);
 t7=recip(t6);
 t8=add(t7,t7);
 return recip(t8);
}
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除法的推导
由
 x/y=x*(1/y)
可得除法的计算程序。注意被除数y!=0.
div(x,y)
{
 assert(y!=0);
 t=recip(y);
 return mul(x,t);
}