万能算术运算

万能算术运算
在《仅用减法及倒数运算实现所有算术运算》一文中我们给出了仅仅利用减法及倒数运算实现加、乘、除等所有算术运算的方法，本文中我们进一步设计一种唯一的二元运算，由其可以导出所有加减乘除运算。
定义二元运算x#y如下：
 x#y=(xy-x+y)/xy  (1)
或者等价地有
 x#y=1+1/x-1/y  (2)
二元运算#的定义域为x,y!=0，响应的程序为：
sharp(x,y)
{
 assert(x!=0 && y != 0);
 return (x*y-x+y)/(x*y);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
由#运算易于生成倒数运算：
 x#1=1/x
另外，由于
 -1#x=-1/x
从而
 -x=-1#1/x
由此我们得到计算倒数及负运算的程序：

recip(x)
{
 assert(x != 0);
 return sharp(x,1);
}

neg(x)
{
 if (x == 0) return 0;

 t=recip(x);
 return sharp(-1,t);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
由于
 1/x#1/y=1+x-y
从而
 x-y=1/x#1/y-1
因此，要定义减法运算，必须首先定义-1运算。
在（2）中取y=1/2可得：
 x#1/2=1/x-1
从而
 x-1=1/x#1/2
注意到减法的定义域为全体数，而倒数运算中变量值不能为0，因此，对于两个运算数为0的情况需要特别处理，同样的，对于-1运算，也存在这种处理需要。
由此我们得到减法运算程序如下：
sub(x,y)
{
 if (x==0) return neg(y);
 if (y==0) return x;

 t1=recip(x);
 t2=recip(y);
 t3=sharp(t1,t2);
 return sub1(t3);
}

sub1(x)
{
 if (x==0) return -1;
 t=recip(x);
 return sharp(t,1/2);
}
～～～～～～～～～～～～～～～～～～
由于我们定义了负操作neg，因此加法操作更简单：
 x+y=x-(-y)
相应的程序如下：
add(x,y)
{
 t=neg(y);
 return sub(x,t);
}
～～～～～～～～～～～～～～～～～～
下面我们推到乘法操作
由于
 x#(x+1)=1+1/x-1/(1+x)=1+1/x(x+1)
从而
 x(x+1)=1/[x#(x+1)-1]
 x*x=1/[x#(x+1)-1]-x
同理
 y*y=1/[y#(y+1)-1]-y
 (x+y)*(x+y)=1/[(x+y)#(x+y+1)-1]-(x+y)
从而
 2*x*y=(x+y)*(x+y)-x*x-y*y
又由于
 1/x*y=1/2*x*y+1/2*x*y
从而我们可以导出乘法操作
 x*y=1/(1/2*x*y+1/2*x*y)
注意到在上面的求平方运算中x!=0,1，因此，对于这两个数的平方运算需要特殊处理，同样，在求乘法的运算中，x,y均不能等于0，因此，这两种特殊情况也需要处理。
下面是计算平方及乘法的程序：
sqr(x)
{
 if (x==0) return 0;
 if (x==-1) return 1;

 t1 = add(x,1);
 t2 = sharp(x,t1);
 t3= sub1(t2);
 t4 = recip(t3);
 return sub(t4,x);
}

mul(x,y)
{
 if (x==0 || y==0) return 0;

 t1=add(x,y);
 t2=sqr(t1);
 t3=sqr(x);
 t4=sqr(y);
 t5=sub(t2,t3);
 t6=sub(t5,t4);
 t7=recip(t6);
 t8=add(t7,t7);
 return recip(t8);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
除法的推导：由
 x/y=x*(1/y)
可得除法的计算程序，注意被除数y!=0。
div(x,y)
{
 assert(y!=0);
 t=recip(y);
 return mul(x,t);
}
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
进一步考虑
 x#y=1/x-1/y
以及
 x#y=(xy-y+1)/xy
是否万能运算。