bzoj 5302 [Haoi2018]奇怪的背包 dp+数论

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解法

• 可以将问题转化成这样一个问题：选出一些数$a_1,a_2,\dots ,a_m$，使得存在这样的$x_1,x_2,\dots ,x_m$满足${\sum }_{i=1}^m{a}_i{x}_i\equiv w(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
• 显然需要满足的条件就是$gcd(a_1,a_2,\dots ,a_m,p)|w$，这个可以用类似于扩展欧几里得的方法证明。
• 那么，我们求出总共$m$个$p$的约数，分别为$b_1,b_2,\dots ,b_m$。令$f[i][j]$表示前$i$个约数中选取若干个最后的$gcd$为第$j$个约数的方案数。
• 转移比较简单，$f[i][j]=f[i-1][j]+([i==j]+{\sum }_k[gcd(b[i],b[k])==b[j]]f[i-1][k])\times (2^{|s[i]|}-1)$。具体实现的时候可以枚举$k$，那么$j$自然也得出来了。
• 然后考虑最后的答案怎么处理，令$g[i]$表示所有约数中选择若干个约数使得$gcd$为第$i$个约数的约数的方案数，那么显然有$g[i]={\sum }_{b[j]|b[i]}f[n][j]$
• 那么，现在对于某一个询问$w$，答案显然为$g[num[gcd(w,p)]]$
• 时间复杂度：$O(\sqrt{p}+m^2\log p+q)$
• $m$大概在$2\times 10^3$左右，可以通过此题。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = x > y ? x : y;}
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = x < y ? x : y;}
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
const int N = 1000010, M = 2010, Mod = 1e9 + 7;
int a[N], b[N], g[N], pw[N], sum[N], f[M][M];
int gcd(int x, int y) {return y ? gcd(y, x % y) : x;}
void add(int &x, int y) {x += y; if (x >= Mod) x -= Mod;}
int main() {
	int n, q, p, m = 0; read(n), read(q), read(p);
	for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]), a[i] = gcd(a[i], p);
	for (int i = 1; i * i <= p; i++)
		if (p % i == 0) {
			b[++m] = i;
			if (i * i != p) b[++m] = p / i;
		}
	sort(b + 1, b + m + 1); pw[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) pw[i] = 2ll * pw[i - 1] % Mod;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i] = lower_bound(b + 1, b + m + 1, a[i]) - b;
		sum[a[i]]++, add(pw[i], Mod - 1);
	}
	pw[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) f[i][j] = f[i - 1][j];
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			int k = gcd(b[i], b[j]); k = lower_bound(b + 1, b + m + 1, k) - b;
			add(f[i][k], 1ll * f[i - 1][j] * pw[sum[i]] % Mod);
		}
		add(f[i][i], pw[sum[i]]);
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			if (b[i] % b[j] == 0) add(g[i], f[m][j]);
	while (q--) {
		int x; read(x);
		int y = gcd(x, p); y = lower_bound(b + 1, b + m + 1, y) - b;
		cout << g[y] << "\n";
	}
	return 0;
}