36、无条件安全的首价拍卖协议解析

无条件安全的首价拍卖协议解析

1. 多组件承诺方案 MCS

多组件承诺方案 MCS 具有特定的通信轮数和计算成本。它需要 3 轮通信，计算成本为 $O(n^2 log_2 n)$。
证明过程如下：
- 每个阶段仅需一轮通信，因此总共是 3 轮。
- 为实现更好的性能，使用域中的本原元素 $\omega$ 来计算多项式，即 $y_{ij} = g_i(\omega x_{ij})$。在前两个阶段，每个次数为 $n - 1$ 的多项式 $g_i(x)$ 在 $n$ 个点上进行计算，计算成本为 $O(n log_2 n)$。由于有 $n$ 个多项式，所以总成本为 $O(n^2 log_2 n)$。
- 在第三阶段，重复相同的计算，因此总计算成本为 $O(2n^2 log_2 n) = O(n^2 log_2 n)$。

2. 密封投标首价拍卖协议

基于多组件承诺方案，提出了三种首价密封投标拍卖协议。这些协议在无条件安全的环境下无需拍卖人，由投标人自行确定拍卖结果。协议包含一个可信初始化器 $T$ 和 $n$ 个投标人 $B_1, \cdots, B_n$，投标人的估值 $\beta_i \in [\eta, \kappa]$，价格范围 $\theta = \kappa - \eta + 1$。所有计算都在有限域 $Z_q$ 中进行，且 $n^2/q$ 需非常小，因此 $q$ 要足够大。

2.1 存在抵赖问题的可验证协议（VR）

假设大多数投标人是诚实的，最多 $n/2$ 个投标人可能勾结以破坏拍卖结果或获取失败投标信息。
- 初始化 ：
1.