52、数值动态规划的进展与形状保持特性应用

数值动态规划的进展与形状保持特性应用

在数值计算领域，动态规划算法有着独特的优势，它能用于解决诸如增长模型和投资组合问题等。下面将详细介绍数值动态规划所需的数值分析工具，以及形状保持特性在动态规划中的应用。

数值分析工具

数值动态规划主要包含三个核心部分：优化、数值积分和近似。

优化

在值函数迭代中，优化步骤是最耗时的。在算法 1 里，时间 $t$ 时有 $N_t$ 个优化任务，每个近似节点对应一个。若值函数迭代次数为 $T$，那么总的优化任务数为 $\sum_{t = 1}^{T} N_t$。这些优化任务通常是具有少量选择变量的小规模问题，算法性能取决于这些问题的求解速度。
- 若值函数近似不光滑，最大化步骤中优化问题的目标函数也不光滑，此时需采用能解决非光滑问题的方法。
- 若值函数近似光滑，可使用牛顿法及相关的约束非线性优化方法，这些方法具有局部二次收敛速度。
实际中，常使用 NPSOL（Gill 等人，1994），它是一组用于在线性和非线性约束下最小化光滑函数的 Fortran 子程序。可从 Fortran、C/C++ 或 MATLAB 的驱动程序中调用 NPSOL 库，因其适用于经济和金融领域的动态规划应用，数值动态规划中的优化任务多为小规模光滑问题。

数值积分

在贝尔曼方程的目标函数中，常需计算 $V (x+)$ 的条件期望。当随机变量连续时，需用数值积分计算期望，高斯求积规则常被用于积分计算。
- 高斯 - 埃尔米特求积 ：若随机变量服从正态分布，应用高斯 - 埃尔米特求积公式计算数值积分效果较好。若要计算 $E{ f (