曼彻斯特编码提升反向散射性能

时变衰落中环境反向散射非相干检测的曼彻斯特编码

J. Kartheek Devinеni, IEEE研究生会员，和 Harpreet S. Dhillon，IEEE高级会员

摘要

—简化检测过程并提高环境反向散射中非相干接收器的误码率（BER）性能，对于增强其在无需信道状态信息（CSI）情况下的工作能力至关重要。在本研究中，我们分析了在发射机处为数据传输所实现的曼彻斯特编码的误码率性能，并证明最优判决规则与系统参数无关。此外，通过广泛的数值结果表明，当与采用直链消除的多天线接收器结合使用时，与常用的未编码直接通断键控（OOK）调制相比，环境反向散射系统使用曼彻斯特编码可获得信噪比（SNR）增益。

索引词

—环境反向散射，非相干检测，曼彻斯特编码，时变衰落，误码率。

I. 引言

环境反向散射在下一代无线网络中的潜在应用要求该技术不仅能够在异构用户设备（UE）之间支持信息传输，还需适应多种多样的信道场景。例如，智慧城市的新兴范式将要求环境反向散射在慢衰落和快变信道中均能良好工作。尽管现有文献已对慢衰落信道进行了大量研究[1],，但针对时变衰落信道的研究尚未得到足够关注。由于在如此快速变化的信道中获取信道状态信息（CSI）存在困难，基于相干通信构建系统可能会带来不利影响，因此在这些信道中选择非相干传输作为主要通信模式可能更为有利。

因此，为了加快环境反向散射在经历快变信道的应用（如车联网通信系统）中的广泛采用和实施，提升其在非相干检测下的性能显得尤为重要。为此，我们研究了在时变衰落设置下，采用曼彻斯特编码进行环境反向散射符号非相干传输的优势。结果表明，与常用的通断键控（OOK）调制相比，该编码方案可在接收器端降低检测复杂度，同时改善误码率性能。

相关工作：关于信道模型的假设，当前关于非相干环境背向散射

反向散射大致可分为两类。第一类属于慢衰落信道，针对此类信道已提出了基于最大似然（ML）检测[2],、半相干检测[3],和正交频分复用（OFDM）[4],[5]的非相干接收机设计。此外，在[6],[7]中研究了无需发送独立导频信号的盲信道估计技术，适用于环境反向散射设置。曼彻斯特编码最初在[8]中被探索用于慢衰落环境反向散射设置。

在[9],中，探讨了使用具有大规模天线阵列的读取器进行到达角估计（AoA），应用于环境反向散射设置。第二类涉及时选衰落信道，这更引起我们的兴趣，但尚未受到广泛关注。该方向中最相关的现有技术是我们的前期工作 [10],，其专注于直接OOK调制的非相干多天线接收机设计。然而，采用曼彻斯特编码且处于时选衰落条件下的环境反向散射系统的误码率（BER）分析仍是一个未解决的问题，本文解决了这一问题。本文的一项特定技术新颖性在于，精确处理了编码符号对应的两个码字的检验统计量之间的相关性，这对于精确误码率分析至关重要。

贡献：

在本研究中，我们将曼彻斯特编码引入环境反向散射系统在时变衰落条件下的设置，并分析了该方案的性能。我们还通过比较两种检测机制的复杂度及其误码率性能，确定了曼彻斯特编码相对于直接OOK调制的优势。

针对该设置，我们考虑了一种基于对接收信号样本进行直接平均的低复杂度接收器架构。该架构不同于环境反向散射文献中常用的基于对接收信号样本能量平均的传统方法 [1]。我们当前工作的主要贡献可总结如下：1）评估了单天线（SA）和多天线（MA）接收机下曼彻斯特编码的条件联合分布以及平均误码率；2）提出了新的分析，证明了曼彻斯特编码相较于流行的直接OOK调制的优势。具体而言，我们从理论上证明了采用曼彻斯特编码的环境反向散射系统的最优检测准则与系统和信道参数无关，这极大地简化了接收机实现。此外，当与实施直连路径（DL）消除的多天线（MA）接收机结合使用时，该编码方案相比直接OOK调制还能带来信噪比增益。具体的信噪比增益取决于直连路径（DL）和

II. 系统模型

环境反向散射系统的设置主要由三个设备组成，即环境电源（PS）、反向散射发射器（BTx）和接收器（Rx）。环境PS和BTx周围存在局部散射体，导致产生出射角（ AoD）均匀分布的独立子路径，而Rx仅存在远处的主导散射体，从而使得到达角（AoA）呈窄分布。因此，接收器处的信号可建模为在平坦瑞利衰落信道中传播后、以两个空间相关的接收链路（即DL和BL）形式到达的信号，其对应的到达角分别为 θ1和 θ2。图1展示了所述环境反向散射系统的设置结构。此外，环境PS和BTx可能彼此独立运动，导致信道随时间变化。在局部散射假设下，DL和 BL链路衰落过程的自相关函数（ACF）为 J0(2πfdtd)，其中J0()为第一类零阶贝塞尔函数， fd为该链路的最大多普勒扩展（DS）， td为时延[11]。类似地，PS‐BTx链路的 ACF由 J0(2πfdtd)J0(2πafdtd)给出，其中 a为该链路两端设备所经历的DS之比[11]。为了提高可处理性，各链路的时间衰落被建模为一阶自回归过程 h[n]=ρh[n−1]+√1−ρ2g[n]，其中 h[n]和h[n−1]分别为当前和前一时刻的增益， g[n]为方差为σ 2 h 的复高斯过程， ρ ∈[0, 1)为相关因子[12]。根据链路的不同， ρ的取值由 J 0( 2πfd t d)或 J 0( 2πfd T s) J 0( 2πafd T s)给出，其中 T s为符号持续时间。当前设置中的多天线接收机利用大尺度参数AoA的变化速率相较于衰落信道总信道增益的变化更慢这一特性，来跟踪DL的到达角并消除其干扰[10]。

通过有意地使反向散射的数据速率低于环境数据的数据速率，SA接收机处的信号可表示为：

$$ y[n]= hr[n]x[n]+ αb hb[n] ht[n]x[n]+ w[n], $$

其中， $x[n]$ 是环境数据序列， $w[n]$ 是加性高斯噪声，$hr[n], hb[n]$ 和 $ht[n]$ 是方差为 $\sigma^2_h$ 的独立同分布零均值复高斯信道系数，且在接收端未知， $b$ 是反向散射数据比特， $\alpha$ 与 BTx 节点的参数 $\Gamma_1$（标签在传输比特 ‘1’时的反射系数）相关。信道系数 $hr[n], hb[n]$ 和 $ht[n]$ 采用一阶 AR 过程建模，各自具有独立的相关因子 $\rho_r, \rho_b$ 和 $\rho_t$。类似地，多天线接收机在直链路消除后的合成信号表示为：

$$ \tilde{y}[n]= \tilde{a}\alpha b h_b[n]h_t[n]x[n]+ \tilde{w}[n], $$

其中，结果向量 $\tilde{a}$和 $\tilde{w}[n]$由以下给出：

$$
\tilde{a}=
\begin{bmatrix}
2 \sin\left(\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right)e^{j\left(\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right)} \
\vdots \
2 \sin\left((M_r - 1)\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right)e^{j(M_r-1)\left(\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right)}
\end{bmatrix},
\quad
\tilde{w}[n]=
\begin{bmatrix}
e^{-j\varphi_1}w_1[n] - w_0[n] \
\vdots \
e^{-j(M_r-1)\varphi_1}w_{M_r-1}[n] - w_0[n]
\end{bmatrix}.
$$

每个链路的相位偏移 $\varphi_i$由 $ \frac{2\pi}{\lambda} d\cos \theta_i$给出。有关该设置、信道和信号模型的更多细节可参见 [10]。然而，与 [10], 中使用的直接OOK调制不同，本案例中的发射机发送的是码字[0 1]和 [1 0],，称为曼彻斯特编码，使用开关键控调制分别表示消息（b）比特 0和 1。为完整性起见，需指出曼彻斯特编码的初步研究出现在我们的会议论文 [13],中，该研究仅限于双天线接收机，并假设环境符号间的衰落相互独立。为了与直接OOK调制进行公平比较，我们假设曼彻斯特编码的每个码字在反向散射数据的一个符号持续时间内发送，而不是两个符号的时间持续时间。检验统计量 （TSs） Z0和 Z1通过从样本大小 $N$中各取一半样本，对码字的两个符号进行评估，其表达式分别为

$$
Z_0= \frac{2}{N} \sum_{n=1}^{N/2} y[n]
\quad \text{和} \quad
Z_1= \frac{2}{N} \sum_{n=N/2+1}^{N} y[n].
$$

该设置受到 [10],的启发，但在时选衰落信道下针对曼彻斯特编码的新分析由于 $Z_0$和 $Z_1$之间的相关性而具有根本性的差异且非平凡。

III. 单天线接收机的检测

在本节中，我们通过推导SA接收机的条件概率密度函数（PDFs）和误码率来评估曼彻斯特编码的性能。检测器的误码率概率采用常用符号 $P(e)$表示，其中 $e$为比特错误事件。

A. 信号的条件分布

原假设和备择假设 $H_0$ 和 $H_1$ 对应的编码方案中的反向散射比特为 $b \equiv 0$和 $b \equiv 1$，分别地。由于发射机发送码字，我们必须推导出针对码字中每个符号计算的检验统计量 $Z_0$和 $Z_1$的联合条件分布。

引理1. 在SA接收机中，曼彻斯特编码下 $Z_0$和 $Z_1$在给定 $H_0$ 和 $H_1$条件下的联合概率密度函数由以下给出：

对于 $H_0$:
$$
f_{Z_0,Z_1}(z_0, z_1)
= \frac{
\exp\left{-\left(\frac{|z_0|^2}{\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}}} + \frac{|z_1|^2}{\mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}} - \frac{(z_0 z_1^ + z_0^ z_1)\mathrm{Cov}^{\mathrm{SA}}}{\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}}\mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}-(\mathrm{Cov}^{\mathrm{SA}})^2 }\right)\right}
}{
\pi^2(\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}} \mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}} - (\mathrm{Cov}^{\mathrm{SA}})^2)
},
$$

对于 $H_1$:
$$
f_{Z_0,Z_1}(z_0, z_1)
= \frac{
\exp\left{-\left(\frac{|z_0|^2}{\mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}} + \frac{|z_1|^2}{\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}}} - \frac{(z_0 z_1^ + z_0^ z_1)\mathrm{Cov}^{\mathrm{SA}}}{\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}}\mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}-(\mathrm{Cov}^{\mathrm{SA}})^2 }\right)\right}
}{
\pi^2(\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}} \mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}} - (\mathrm{Cov}^{\mathrm{SA}})^2)
},
$$

其中
$$
\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}} = \frac{2}{N}\left(\sigma_h^2 \mathbb{E}[|X|^2] + \sigma_h^2 \frac{2\rho_r}{1-\rho_r}\left(1 - \frac{2(1-\rho_r^{N/2})}{N(1-\rho_r)}\right)\right),
$$
$$
\mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}} = \frac{2}{N}\left(\sigma_h^2(1+|\alpha|^2\sigma_h^2)\mathbb{E}[|X|^2]+\sigma_h^2\left[\frac{2\rho_r}{1-\rho_r}\left(1 - \frac{2(1-\rho_r^{N/2})}{N(1-\rho_r)}\right)+|\alpha|^2\sigma_h^2 \frac{2\rho_t\rho_b}{1 - \rho_t\rho_b}\left(1 - \frac{2(1-\rho_t^{N/2} \rho_b^{N/2})}{N(1-\rho_t\rho_b)}\right)\right]|\mathbb{E}[X]|^2+ \sigma_n^2\right),
$$
$$
\mathrm{Cov}^{\mathrm{SA}} = \frac{4\rho_r(1-\rho_r^{N/2})^2}{N^2(1-\rho_r)^2} |\mathbb{E}[X]|^2.
$$

Proof: See Appendix A.

B. 误码率

将两种假设下 $Z_0$和 $Z_1$的条件概率密度函数进行比较，以推导出最优阈值，并利用该阈值评估SA接收机的误码率。

定理1. 曼彻斯特编码在SA接收机中的平均误码率为：
$$
P^{\mathrm{SA}}(e)= \int_0^\infty \int_v^\infty \frac{
\exp\left{-\left( \frac{u}{(1-\rho^2)\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}}} + \frac{v}{(1-\rho^2)\mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}} \right)\right}
}{
\pi(1 - \rho^2)\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}} \mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}
} I_0\left( \frac{\rho\sqrt{uv}}{(1 - \rho^2)\sqrt{\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}} \mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}}} \right) du dv,
$$
其中 $I_0$是第一类零阶修正贝塞尔函数。(6)中的表达式可以很好地近似为
$$
P^{\mathrm{SA}}(e)=\left(1+ \frac{\mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}}{\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}}}\right)^{-1}
$$
对于较大的样本量 $N$，由于两个方差$\mathrm{Var}_0^{\mathrm{SA}}$ 和$\mathrm{Var}_1^{\mathrm{SA}}$ 均以 $\Theta(N^{-1})$的速率衰减，而协方差$\mathrm{Cov}^{\mathrm{SA}}$以 $\Theta(N^{-2})$的速率衰减。

证明： 见附录B。

渐近分析： SA接收机原假设和备择假设的方差比值为
$$
K= 1+
\frac{|\alpha|^2\sigma_h^4\left{1+ \frac{2\rho_t\rho_b}{1-\rho_t\rho_b}\left(1- \frac{2(1-\rho_t^{N/2}\rho_b^{N/2})}{N(1-\rho_t\rho_b)}\right)\right}|\mathbb{E}[X]|^2}{\sigma_h^2\left{1+ \frac{2\rho_r}{1-\rho_r}\left(1- \frac{2(1-\rho_r^{N/2})}{N(1-\rho_r)}\right)\right}|\mathbb{E}[X]|^2 + \mathrm{SNR}^{-1}}.
$$
SAR接收器中曼彻斯特编码的渐近误码率为：
$$
P^{\mathrm{asym}} {\mathrm{SA}}(e)= \lim {\mathrm{SNR}\to\infty}(1+ K)^{-1}
= \left(2+|\alpha|^2\sigma_h^4+\frac{|\alpha|^2\sigma_h^4 2\rho_t\rho_b \rho_b^{N/2} }{1+ 2\rho_r \left(1-2(1-\rho_r^{N/2})\right)} \frac{\mathbb{E}[|X|^2]}{\mathbb{E}[|X|^2]}\right)^{-1}.
$$

备注1. 需要重点强调曼彻斯特编码相较于直接OOK调制的优势。对于曼彻斯特编码，式(13)给出的判决规则仅依赖于两个随机变量 $Z_0$和$Z_1$相对大小的关系。而直接OOK调制的判决规则则是将单个检验统计量 $Z$（在所有 $N$个样本上计算得到）的幅度与一个阈值进行比较，可表示如下：
$$
|z|^2 \gtrless_{0}^{1} \ln\left(\frac{s_1}{s_0}\right) \frac{s_1 - s_0}{s_1 s_0},
$$
其中
$$
s_0= \frac{1}{N}\left(\sigma_h^2\mathbb{E}[|X|^2]+\sigma_h^2 \frac{2\rho_r}{1-\rho_r}\left(1-\frac{(1-\rho_r^N)}{N(1-\rho_r)}\right)\right)
$$
和
$$
s_1= \frac{1}{N}\left(\sigma_h^2(1+|\alpha|^2\sigma_h^2)\mathbb{E}[|X|^2]+\sigma_h^2\left[\frac{2\rho_r}{1-\rho_r}\left(1-\frac{(1-\rho_r^N)}{N(1-\rho_r)}\right)+|\alpha|^2\sigma_h^2 \frac{2\rho_t\rho_b}{1 - \rho_t\rho_b}\left(1-\frac{(1-\rho_t^N \rho_b^N)}{N(1-\rho_t\rho_b)}\right)\right]|\mathbb{E}[X]|^2+ \sigma_n^2\right).
$$
直接OOK调制的最优判决规则是系统参数的函数，例如环境信号的信噪比、衰落方差 $\sigma_h^2$、样本大小 $N$以及相关系数 $\rho_r$、 $\rho_b$和 $\rho_t$[10]。因此，该方案显著降低了接收机复杂度，在需要优先优化设备能耗的情况下更受青睐。

尽管采用曼彻斯特编码后最优判决规则得到了简化，但渐近误码率仍然存在误码平台。因此，需要对多天线接收机中该编码方案的性能进行评估，以展示其全部潜力。

在下一节中，我们将讨论当反向散射发射器采用曼彻斯特编码时，多天线接收机的天线增益、检测过程以及误码率性能。

IV. 多天线接收机的检测

在多天线接收机中，经过直链路消除并对合成信号向量进行适当加权后获得的有效信号由[10]给出：
$$
y_{\mathrm{eff}}[n]= \mathbf{r}^ \tilde{\mathbf{a}}\alpha b h_b[n]h_t[n]x[n]+ \mathbf{r}^ \tilde{\mathbf{w}}[n],
$$
其中 $\mathbf{r}= \frac{\hat{\mathbf{K}}^{-1} \tilde{\mathbf{W}} \tilde{\mathbf{a}}}{|\hat{\mathbf{K}}^{-1/2} \tilde{\mathbf{W}} \tilde{\mathbf{a}}|}$ 是采用最优MMSE检测的权重向量。由于多天线带来的天线增益 $G=\tilde{\mathbf{a}}^*\hat{\mathbf{K}}^{-1} \tilde{\mathbf{W}}\tilde{\mathbf{a}}$ 由 [10]给出：
$$
G= \frac{M_r - 1}{M_r} - \frac{2}{M_r} \frac{\sin\left((M_r -1) \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right)} \cos\left(M_r \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right) - \frac{1}{M_r} \frac{\sin^2 \left((M_r -1) \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right)}{\sin^2 \left( \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right)},
$$
且该表达式可进一步简化如下：
$$
G= \frac{M_r - 1}{M_r} \frac{\sin^2\left(M_r \frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right)}.
$$
尽管天线增益是两个相位偏移（从而到达角）的函数，但为了简化表示，它被表示为一个无参数的单个变量 $G$。

平均误码率的精确表达式依赖于两个变量 $\theta_1$和 $\theta_2$的联合分布。为进一步阐述，我们考虑两种分布：1）到达角的均匀分布：两个到达角 $\theta_1$和 $\theta_2$相互独立，且在$(-\pi, \pi]$区间内均匀分布；2）到达角的窄分布：到达角 $\theta_1$在 $(-\pi, \pi]$区间内均匀分布，而 $\theta_2$以 $\theta_1$的值为均值、具有一定的角度扩展（设为 $10^\circ$）进行均匀分布。

定理2. 在具有均匀分布的两个到达角的多天线接收机中，曼彻斯特编码的平均误码率为：
$$
P^{\mathrm{MA}}(e)= \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi} \times \frac{1}{2\pi} \times \frac{\sigma_n^2 / N}{G|\alpha|^2\sigma_h^4\left{\mathbb{E}[|X|^2]+ \frac{2\rho_t\rho_b}{1-\rho_t\rho_b}\left( 1- \frac{2(1-\rho_t^{N/2} \rho_b^{N/2})}{N(1-\rho_t\rho_b)} \right)\right}|\mathbb{E}[X]|^2 + \sigma_n^2 / N} d\theta_1 d\theta_2.
$$
证明： 见附录C。

渐近分析： 多天线接收机的原假设和备择假设的方差比值为
$$
K=1+G|\alpha|^2\sigma_h^4\left{1+ \frac{2\rho_t\rho_b}{1-\rho_t\rho_b} \left(1- \frac{2(1-\rho_t^{N/2} \rho_b^{N/2})}{N(1-\rho_t\rho_b)} \right) \right} \frac{|\mathbb{E}[X]|^2}{\mathbb{E}[|X|^2]} \mathrm{SNR}.
$$
曼彻斯特编码在MA接收器中的渐近条件误码率由以下公式给出：
$$
P^{\mathrm{asym}} {\mathrm{MA}}(e|\varphi_1, \varphi_2)= \lim {\mathrm{SNR}\to\infty} (1+ K)^{-1} = 0.
$$

V. 数值结果与讨论

我们现在将曼彻斯特编码的误码率性能与直接OOK调制进行比较。此外，还将分析结果与蒙特卡洛仿真进行对比，以验证我们分析的准确性。 $\alpha$的取值被配置为导致1.1分贝的信号衰减，而信道增益 $\sigma_h^2$ 的方差设为1。所有相关系数 $\rho_r$, $\rho_b$和 $\rho_t$的值被假定为相同，并用另一个变量 $\rho$表示。首先，我们在讨论窄角度扩展到达角之前的均匀角度扩展到达角下的平均误码率结果。图2a展示了独立衰落场景（$\rho= 0$）下SA接收机未编码和编码方案的误码率结果，从图中可以验证，这两种方案均存在由直连干扰引起的误码平台。在同一图2a中，还展示了MA接收机在不同相关因子取值情况下两种方案的误码率结果。

相关因子 $\rho$的曲线也一并绘制。从两种方案的误码率改善情况可以推断直链路消除对性能的影响。从图中还可以验证，对于均匀分布的到达角，曼彻斯特编码相比未编码直接开关键控调制具有约4 dB的信噪比增益。相比之下，如图2b所示，对于窄分布的到达角，曼彻斯特编码相对于未编码开关键控调制的信噪比增益约为3 dB。正如预期，采用曼彻斯特编码时的确切信噪比增益依赖于两个到达角的联合分布，但对于不同的 $\rho$值保持恒定。此外，在样本大小 $N$增加的情况下，针对均匀分布和窄分布到达角的两种方案的误码率曲线分别绘制于图3a和图3b中，且在 $N$超过某一阈值后趋于平坦。当 $N$较小时，理论与仿真结果之间的差异是由于平均操作需要最少数量的样本才能有效工作所致，且随着相关因子 $\rho$的增大，所需的样本数量也随之增加。

到达角的均匀分布)

到达角的窄分布)

VI. 结论

在本研究中，我们分析了曼彻斯特编码在时变衰落下环境反向散射系统中对非相干传输的影响，通过理论分析和数值仿真展示了该方案相较于文献中常用的直接OOK调制的优势。曼彻斯特编码的最优判决规则仅依赖于码字两个符号检验统计量的相对幅度，因此最优检测阈值与所有系统参数无关。此外，所提出的编码方案在采用多天线接收机时，相比直接OOK调制还能实现信噪比增益，其具体数值取决于两个到达角的联合分布。在我们的分析中，当到达角为均匀分布和窄范围分布时，评估得到的信噪比增益分别约为4 dB和3 dB，这显著提升了环境反向散射系统的性能。