14、向量变换与矩阵计算：线性变换的奥秘

向量变换与矩阵计算：线性变换的奥秘

1. 线性变换的基础特性

向量变换是将向量作为输入并输出向量的函数，可作用于二维或三维向量。线性变换具有良好的代数和几何性质，它能保持向量的和、标量倍数以及线性组合不变。与之相反，非线性变换会扭曲线段，例如将向量 (v = (x, y)) 变换为 ((x^2, y^2)) 的非线性变换 (S(v))，会使三角形的边不再保持直线。

1.1 向量的线性组合分解

任何三维向量都能分解为三个向量 ((1, 0, 0))、((0, 1, 0)) 和 ((0, 0, 1)) 的线性组合，这三个向量被称为三维空间的标准基，分别记为 (e_1)、(e_2) 和 (e_3)。例如，向量 ((4, 3, 5)) 可分解为 (4 · (1, 0, 0) + 3 · (0, 1, 0) + 5 · (0, 0, 1))，即 (4e_1 + 3e_2 + 5e_3)。在二维空间中，标准基为 (e_1 = (1, 0)) 和 (e_2 = (0, 1))，如向量 ((7, -4)) 可表示为 (7e_1 - 4e_2)。

1.2 线性变换的计算方法

由于线性变换尊重线性组合，计算线性变换只需知道它对标准基向量的作用。以二维向量变换 (T) 为例，若已知 (T(e_1)) 和 (T(e_2))，对于任意向量 (v = (3, 2))，可计算 (T(v) = T(3e_1 + 2e_2) = 3T(e_1) + 2T(e_2))。

在三维空间中，设线性变换 (A) 满足 (A(e_1) = (1, 1, 1))，(A(e_2) = (1, 0, -1))，(A(e_3) = (0, 1, 1))，对于向量 (