4、聚类与布尔矩阵：理论与实践探索

聚类与布尔矩阵：理论与实践探索

1. 偏序集与划分

1.1 有限偏序集的反链划分

对于有限非空偏序集((S, \leq))，若其高度(height(S, \leq) = m)，则可将(S)划分为(m)个反链。具体构造过程如下：
1. 首先定义((S_0, \leq_0) = (S, \leq))。
2. 假设已定义非空偏序集((S_i, \leq_i))，考虑反链(U_{i + 1} = MAX(S_i, \leq_i))以及偏序集((S_{i + 1}, \leq_{i + 1}))，其中(S_{i + 1} = S_i - U_{i + 1})且(\leq_{i + 1}= (\leq_i) {S {i + 1}})。
3. 当(S_k = S_{k - 1} - U_k = \varnothing)时，过程停止。此时(U_1, \cdots, U_k)是((S, \leq))中(k)个两两不相交的反链，且(S = \bigcup_{i = 1}^{k} U_i)。
4. 由于反链中任意两个元素不能属于同一链，且(S)包含一个有(m)个元素的链，所以将(S)划分为反链至少需要(m)个反链，即(m \leq k)。接下来构造一个链(x_1 < x_2 < \cdots < x_k)，从(x_k)开始，选择(x_k)为(U_k)中的任意元素，若(x_j \in U_j)（(i \leq j \leq k)），则选择(x_{i - 1} \in U_{i - 1})使得(x_i < x_{i - 1})，从而证明({x_1, \cdots, x_k})是一个链，可得(height(S, \leq) = m \ge