7、先进制造中的矩阵求解与控制理论

先进制造中的矩阵求解与控制理论

矩阵平衡与预处理

矩阵平衡方法

在矩阵处理中，为了实现算法的快速收敛，部分平衡法能达到与启发式方法相同的效果。对于 $p < ∞$ 且矩阵 $A$ 为方阵并具有全支撑的情况，Sinkhorn 和 Knopp 提出了一种矩阵平衡方法；当 $p = ∞$ 时，则可使用 Ruiz 算法。然而，当矩阵 $A$ 无法被平衡时，这两种方法都会失效。因此，对 Sinkhorn - Knopp 算法进行了简单修改，使其能够处理非方阵或无法精确平衡的矩阵。

选择满足 $|DAE| 2 = 1$ 的预条件子，可以通过分别将 $D$ 和 $E$ 按 $\sigma {max}(DAE)^{-q}$ 和 $\sigma_{max}(DAE)^{q - 1}$ 进行缩放来实现，其中 $q \in R$。$\sigma_{max}(DAE)$ 可以使用幂迭代法进行近似，但实际上并不需要精确满足 $|DAE| 2 = 1$。一种更具计算效率的替代方法是用 $|DAE|_F / \sqrt{\min(m, n)}$ 代替 $\sigma {max}(DAE)$，当 $cond(DAE) = 1$ 时，该值与 $\sigma_{max}(DAE)$ 相等。如果 $DAE$ 是平衡的且 $p = 2$，这种缩放对应于 $(DAE)^T(DAE)$（当 $m < n$ 时为 $(DAE)(DAE)^T$）具有单位对角线。

正则化平衡

正则化平衡方法类似于 Sinkhorn - Knopp 算法，但能处理非方阵或无法精确平衡的矩阵。考虑一个以变量 $u$ 和 $v$ 为变量的凸优化问题