13、机器人动力学与控制全解析

机器人动力学与控制全解析

1. 关节空间与笛卡尔空间

在机器人领域，一个具有 $n$ 个自由度的 $n$ 连杆机械臂，其末端执行器的位置在关节变量 $q_i$ 确定后就完全固定了。这个位置既可以用关节坐标描述，也可以用笛卡尔坐标描述。

关节坐标下，末端执行器的位置简单地由 $n$ 维向量 $q$ 的值给出。而笛卡尔坐标下，末端执行器的位置是通过指定附着在末端执行器上的坐标系相对于基坐标系的方向和位移来确定的，这正是 $T(q)$ 的含义，即 $T(q)$ 给出了末端执行器的笛卡尔位置。

在三维空间中，末端执行器的笛卡尔位置可以用一个六维向量完全指定，其中三个坐标用于描述平移，另外三个用于描述方向。用机械臂的 $T(q)$ 矩阵表示笛卡尔平移是合适的，因为它可以简单地表示为 $p(q) = [x\ y\ z]^T$。然而，用 $T$ 矩阵表示笛卡尔方向效率较低，因为旋转矩阵 $R(q)$ 有九个元素，更有效的表示方法可以使用四元数或工具配置向量。

机器人运动学问题是在给定关节变量后确定末端执行器的笛卡尔位置，这可以通过为给定的 $q$ 值计算 $T(q)$ 来实现。逆运动学问题则是要确定将末端执行器定位到指定笛卡尔位置所需的关节角度 $q_i$，这对应于在给定末端执行器的期望方向 $R$ 和位移 $p$ 的情况下求解 $q \in \mathbb{R}^n$。这不是一个简单的问题，可能有多个解，例如拿起一个咖啡杯时，可以肘部向上或向下等不同方式去够取。解决这个问题有各种有效的技术，应避免使用 $\arcsin$、$\arccos$ 函数，尽可能使用数值条件良好的 $\arctan$ 函数。

2. 机器人雅可比矩阵

运动