9、先进制造中的随机模型预测控制：方法与展望

先进制造中的随机模型预测控制：方法与展望

1. 随机变量处理与系数确定方法

在处理相关随机变量时，如 $\theta$，可以通过特定方法将其与一组独立均匀随机变量建立联系，从而构建微分同胚 $T$。对于确定随时间变化的 $a_i(k)$，有多种方法可供选择：
- 配点法（Collocation） ：
1. 在 $\xi$ 的支撑集上生成一组网格点。
2. 在每个网格点上求解差分方程 (5.1)。
3. 使用最小二乘法将这些解拟合到 (5.7)。
- 求积法（Quadrature） ：使用高斯求积规则对定义内积 $\langle\cdot\rangle$ 的积分进行数值近似。

然而，由于系数 $a_i(k)$ 是输入 $u_0, \cdots, u_{k - 1}$ 的函数，这些方法在基于优化的控制中往往会导致较大的数值计算成本，因为优化器需要对每个候选输入序列进行多次模拟。

2. Galerkin 投影法

作为基于网格方法的替代方案，Galerkin 投影法将 (5.7) 代入 (5.1)，并通过将误差投影到每个基函数上来推导系数的确定性方程。具体步骤如下：
1. 将 (5.7) 代入 (5.1)。
2. 把误差投影到每个基函数上，得到：
[
a_j(k + 1) = \frac{1}{\langle\Phi_j^2\rangle}\left\langle f\left(\sum_{i = 0}^{NPC}a_i(k)\Phi_i(\xi), u_k, T(\xi)\right), \Phi_