70、图论中的收缩与平面性测试算法

图论中的收缩与平面性测试算法

1. 图收缩问题

1.1 分裂图收缩判断

对于固定图 $H$，判断给定分裂图 $G$ 是否能收缩到 $H$ 这一问题可在多项式时间内解决。具体分析如下：
设 $G$ 是具有分裂划分 $(C_G, I_G)$ 的分裂图，且 $G$ 是 $H$ - 可收缩性问题的输入图。由于收缩分裂图的任何边都会得到另一个分裂图，所以 $G$ 能收缩到图 $H$ 的必要条件是 $H$ 是分裂图且 $|V(G)| \geq |V(H)|$，这可在与 $H$ 大小成线性关系的时间内检查，因为 $H$ 大小是常数。
假设 $H$ 是分裂图，其分裂划分为 $(C_H, I_H)$。根据引理，$G$ 能收缩到 $H$ 当且仅当 $G$ 包含一个 $H$ - 兼容集。$I_G$ 中基数为 $|I_H|$ 的不同子集数量为 $\binom{|I_G|}{|I_H|} \leq |V(G)|^{|I_H|}$。对于每个这样的子集，根据引理 3 可在 $f(|V(H)|) \cdot |V(G)|^3$ 时间内测试其是否为 $H$ - 兼容。因为图 $H$ 是固定的，所以能在关于 $|V(G)|$ 的多项式时间内判断 $G$ 是否能收缩到 $H$。

1.2 收缩算法流程

以下是判断 $U$ 是否为 $H$ - 兼容集的算法流程：
1. 对于集合 $B$ 中的元素 $M$：
- 检查 $M$ 是否满足属性 (iv) 和 (v)。
- 若满足，则 $M$ 是 $U$ 的基本集合，算法得出 $U$ 是 $H$ - 兼容的结论。
- 若不满足，取消 $C_G$ 中所有顶点的标记（$I_G \setminus