70、图的收缩与平面性测试算法研究

图的收缩与平面性测试算法研究

图收缩问题

在图论中，判断一个给定的分裂图 $G$ 是否可以收缩为图 $H$ 是一个重要问题。对于固定的图 $H$，该问题可以在多项式时间内解决。
- 收缩条件判断 ：
- 首先，由于分裂图收缩任意边后仍为分裂图，所以 $G$ 能收缩到 $H$ 的必要条件是 $H$ 为分裂图且 $|V(G)| \geq |V(H)|$，这可以在与 $H$ 大小成线性关系的时间内检查。
- 设 $G$ 是具有分裂划分 $(C_G, I_G)$ 的分裂图，$H$ 是具有分裂划分 $(C_H, I_H)$ 的分裂图。根据引理，$G$ 能收缩到 $H$ 当且仅当 $G$ 包含一个 $H$ - 兼容集。
- $I_G$ 中基数为 $|I_H|$ 的不同子集数量为 $\binom{|I_G|}{|I_H|} \leq |V(G)|^{|I_H|}$。对于每个这样的子集，可在 $f(|V(H)|) \cdot |V(G)|^3$ 时间内测试其是否为 $H$ - 兼容集，由于 $H$ 是固定的，所以能在 $|V(G)|$ 的多项式时间内判断 $G$ 是否可收缩到 $H$。
- 判断算法流程 ：
1. 检查 $H$ 是否为分裂图且 $|V(G)| \geq |V(H)|$。
2. 遍历 $I_G$ 中基数为 $|I_H|$ 的子集。
3. 对每个子集，测试其是否为 $H$ - 兼容集。
4. 根据测试结果判断 $G$ 是否可收缩到 $H$。

以下是该流程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B{检查 H 是否为分裂图且 |V(G)| ≥ |V(H)|};
    B -- 是 --> C[遍历 I_G 中基数为 |I_H| 的子集];
    B -- 否 --> D[G 不能收缩到 H，结束];
    C --> E[测试子集是否为 H - 兼容集];
    E -- 是 --> F[G 能收缩到 H，结束];
    E -- 否 --> C;

平面性测试问题

平面性测试是算法图论中的一个基本问题，主要是确定给定图是否为平面图，而平面嵌入则是相应的构造问题。
- 相关研究进展 ：
- 过去，Allender 和 Mahajan 借助 Reingold 的结果，确定了平面性测试和平面嵌入问题的有界空间复杂度恰好为确定性对数空间，但他们的算法较为复杂，推广到有界亏格情况困难。
- 现在提出了一个简单的对数空间平面嵌入算法，该算法利用了 3 - 连通平面图的唯一嵌入性、Tutte 准则的一个变体以及循环空间的显式基变换。同时，还提出了一个对数空间算法来找出非平面图的 Kuratowski 子式。
- 相关定义 ：
- 桥的定义 ：对于图 $G$ 中的一个循环 $C$，其桥包括：
- 对于 $G \setminus C$ 的每个连通分量 $X$，诱导图 $G[X \cup A_X]$，其中 $A_X \subseteq C$ 是 $C$ 中与 $X$ 的某个顶点相邻的顶点（$A_X$ 中的顶点也称为附着点）。
- $C$ 的弦，其端点为附着点。
- 桥冲突定义 ：两个桥 $B_1$ 和 $B_2$ 冲突的条件为：
- $a_i, a’_i$ 是 $B_i$ 在 $C$ 上的两个附着点（$i \in {1, 2}$），且它们在循环 $C$ 上按 $a_1, a_2, a’_1, a’_2$ 的顺序出现。
- $B_1$ 和 $B_2$ 在循环 $C$ 上有三个公共附着点。
- 冲突图定义 ：图 $G$ 关于循环 $C$ 的冲突图 $H_C(G)$ 是将 $C$ 的桥作为顶点，若两个桥冲突则在它们之间连边得到的图。
- 基本循环定义 ：给定双连通图 $G$ 的一个生成树 $T$ 和边 $e \in E(G) \setminus E(T)$，子图 $T \cup e$ 包含一个唯一的循环 $C(e)$，称为 $e$ 的基本循环。若嵌入平面图的一个面是关于某个固定生成树的基本循环，则称该面为基本面。
- 平面嵌入算法 ：
- 算法思路 ：
- 平面图中关于任何循环的冲突图是二分图，反之，Tutte 证明了一个图是平面的当且仅当关于每个循环的冲突图是二分图。但由于图可能有指数级数量的循环，直接应用该结果无法得到多项式时间算法，因此考虑基本循环。
- 然而，存在非平面图，其某个生成树的每个基本循环的冲突图是二分图。所以需要一个确定性算法，在输入为平面图时构造有效的平面嵌入，在输入为非平面图时失败或输出非平面嵌入。
- 可以将问题简化为处理 3 - 连通平面图，因为找到三连通分量和拼接三连通分量的平面嵌入都可以在对数空间内完成。
- 3 - 连通平面图的特性 ：
- 具有唯一的平面嵌入。
- 关于任何循环的冲突图是连通的，这使得可以唯一地对桥进行二分划分，使划分中的桥位于循环的一侧。
- 算法步骤 ：
1. 找到一个基本循环，它是唯一嵌入中的一个面。由于对于 3 - 连通平面图，总是存在一个基本循环是面，且结合相关事实能在对数空间内找到这样的面。
2. 确定每个基本循环中哪些桥位于内部，哪些位于外部。将找到的面视为外部面，规定不在该面中的每条边都在其内部，这样包含外部面边的桥位于循环外部。
3. 通过将循环基从基本循环转换为面来构建组合嵌入。

以下是平面嵌入算法的步骤列表：
1. 确定输入图是否为 3 - 连通平面图，若不是则进行三连通分量分解。
2. 为 3 - 连通分量找到生成树，确定基本循环。
3. 找到一个基本循环作为外部面。
4. 对每个基本循环，划分桥的内外位置。
5. 进行循环基转换，构建组合嵌入。
6. 拼接 3 - 连通分量的嵌入得到最终结果。

查找 Kuratowski 子式的算法

对于非平面图，可通过以下算法找到 Kuratowski 子式（$K_5$ 或 $K_{3,3}$）：
1. 识别具有非二分冲突图的循环。
2. 在该冲突图中找到一个诱导奇数循环。
3. 收缩/删除一些桥和这些桥的附着边以得到 Kuratowski 子式。

以下是该算法的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[识别具有非二分冲突图的循环];
    B --> C[在冲突图中找到诱导奇数循环];
    C --> D[收缩/删除桥和附着边];
    D --> E[得到 Kuratowski 子式，结束];

综上所述，图的收缩问题和平面性测试问题在图论中具有重要意义，通过上述算法可以在一定时间和空间复杂度内解决相关问题，为图论的应用和研究提供了有力支持。

图的收缩与平面性测试算法研究（续）

平面性测试算法的优势与意义

• 算法优势
  • 简单性 ：相较于以往复杂的算法，新提出的对数空间平面嵌入算法更为简单。它避免了如 Allender 和 Mahajan 算法中复杂的步骤，如构建开放耳分解等，而是利用 3 - 连通平面图的特性，使后续步骤得到显著简化。
  • 可推广性潜力 ：虽然目前推广到有界亏格情况仍有挑战，但简单的算法结构为进一步的研究和推广提供了更好的基础。
  • 对数空间复杂度 ：算法在对数空间内运行，这对于处理大规模图数据具有重要意义，能够有效减少空间资源的消耗。
• 算法意义
  • 基础作用 ：平面性测试和平面嵌入是许多针对平面图设计的算法的前提条件。例如，在图的可达性、完美匹配和同构等问题中，当图在平面上嵌入时，这些问题可以有更高效的有界空间算法。
  • 推动研究进展 ：新算法的提出为图论领域的研究提供了新的思路和方法，有助于解决更多相关的复杂问题，如进一步探索图的嵌入性质和图的拓扑结构。

不同算法的对比分析

算法类型	复杂度	主要步骤	优点	缺点
图收缩判断算法	多项式时间	检查条件、遍历子集、测试兼容性	能在多项式时间内判断分裂图收缩问题	仅适用于分裂图
Allender 和 Mahajan 平面性测试算法	确定性对数空间	构建开放耳分解、定向耳朵、构建局部替换图等	确定了有界空间复杂度	算法复杂，推广困难
新平面嵌入算法	对数空间	利用 3 - 连通图特性、构建冲突图、进行基变换等	简单，利用 3 - 连通图唯一嵌入性	推广到有界亏格情况仍有挑战
查找 Kuratowski 子式算法	未明确提及整体复杂度	识别循环、找奇数循环、收缩/删除边	能找出非平面图的 Kuratowski 子式	对于大规模图可能效率不高

未来研究方向展望

• 算法优化
  • 进一步优化平面嵌入算法和查找 Kuratowski 子式算法的时间和空间复杂度，提高算法在大规模图数据上的运行效率。
  • 探索更有效的基变换方法，减少算法中的计算量。
• 问题拓展
  • 研究如何将平面性测试算法推广到有界亏格图的测试中，解决目前存在的推广难题。
  • 考虑将图收缩问题和平面性测试问题结合起来，研究在图收缩过程中保持平面性的条件和算法。
• 应用领域拓展
  • 将这些算法应用到更多实际领域，如电路设计、地理信息系统、社交网络分析等，解决实际问题中的图结构分析和处理需求。

以下是未来研究方向的 mermaid 流程图：

graph LR;
    A[算法优化] --> B[优化复杂度];
    A --> C[探索新基变换方法];
    D[问题拓展] --> E[推广到有界亏格图];
    D --> F[结合图收缩与平面性测试];
    G[应用领域拓展] --> H[电路设计];
    G --> I[地理信息系统];
    G --> J[社交网络分析];

总之，图的收缩和平面性测试问题在图论中具有重要地位，新算法的提出为解决这些问题提供了更有效的途径。未来的研究可以从算法优化、问题拓展和应用领域拓展等方面展开，进一步推动图论领域的发展和应用。