71、平面性测试再探

平面性测试再探

1. 冲突图

在图论中，冲突图是一个重要的概念。对于一个 3 - 连通图 $G$ 和图中任意一个循环 $C$，冲突图 $H_C(G)$ 具有特定的性质。

• 引理 3 ：给定一个 3 - 连通图 $G$ 和图中的任意循环 $C$，冲突图 $H_C(G)$ 是连通的。
  • 证明 ：对于一个嵌入平面的图 $G$ 以及其中包含的任何循环 $C$，冲突图 $H_C(G)$ 是二分图（二分划分由桥是映射到循环“内部”还是“外部”给出）。现在证明 $H_C(G)$ 是连通的。对于循环 $C$ 上的每一对点 $x, y$，沿着 $C$ 有两条路径，记为 $P_{x,y}$ 和 $P’_{x,y}$。设 $B$ 是对应于 $H_C(G)$ 的一个连通分量的桥的集合。选取一对点 $u, v$，满足：
    • $u$ 和 $v$ 是 $B$ 中桥的附着点。
    • $u$ 和 $v$ 不相邻。
    • $B$ 中所有桥的附着点都位于 $P_{u,v}$ 或 $P’ {u,v}$ 中（不失一般性，假设它们位于 $P {u,v}$ 中）。
      可以证明总能找到这样的一对 $u, v$。选取一个桥 $B’ \notin B$，$B’$ 的附着点将 $C$ 分成若干段（由于每个桥至少有 3 个附着点，所以至少分成 3 段）。因为 $B$ 中没有桥与 $B’$ 冲突，且 $B$ 在 $H_C(G)$ 中对应的顶点形成一个连通分量，所以 $B$ 的所有附着点必然位于其中一段。这意味着 $C$ 上存