28、图论问题的复杂度分析与算法研究

图论问题的复杂度分析与算法研究

1. 平面图支配集问题的线性时间内核计算

1.1 相关引理与观察

存在一个支配集 (D \supseteq D’) 用于图 (G_1)，且 (|D| \leq 2\gamma(G))。基于固定的最大 (D) - 区域分解 (R) （其中 (D \supseteq D’) ）进行推理。若度为 1 的虚拟顶点连接到顶点 (v)，则约简规则 1 和算法 1 都不能删除 (v)，(v) 会存在于图 (G_3) 中，且在 (G_3) 中它也有（可能不同的）虚拟邻接点。

有如下观察：
- 观察 2 ：设 (R(v, w) \in R) 为一个区域，约简规则 1 和算法 1 不会将虚拟顶点连接到 (R(v, w) \setminus {v, w}) 中的任何顶点。这确保了在图 (G_1)、(G_2) 和 (G_3) 中，区域 (R \in R) 的内部顶点的邻接点都在该区域内，在一定程度上保留了 (G_1) 在 (G_2) 和 (G_3) 中的区域结构。

1.2 问题内核大小的证明步骤

• 命题 1 ：(|(V(G_1) \setminus V(R)) \cap V(G_2)| \in O(\gamma(G)))，表明阶段 2 会将不在任何 (R) 区域中的顶点数量缩减到 (O(\gamma(G)))。
• 引理 6 ：设 (R(v, w) \in R)，且 (u \in V(G_2) \setminus {v, w})。若 ({v, w} \subseteq V