48、稀疏输赢双矩阵博弈中纳什均衡的高效计算

稀疏输赢双矩阵博弈中纳什均衡的高效计算

研究背景与目标

在输赢双矩阵博弈领域，此前的研究取得了一定成果。有研究表明，每个纯策略最多有两个获胜位置的输赢双矩阵博弈可在线性时间内求解。还有研究指出，平面输赢双矩阵博弈在多项式时间内是可解的。这里的平面输赢双矩阵博弈，是指将支付矩阵视为邻接矩阵所得到的二分图是平面的博弈。

我们的研究目标是对上述结果进行改进。一方面，将多项式时间替换为确定性对数空间 $L$；另一方面，把结果从平面博弈扩展到以下几类输赢双矩阵博弈：
1. $K_{3,3}$ 子式无关博弈。
2. 三连通分量为平面或 $V_8$ 的 $K_5$ 子式无关博弈。
3. 三连通分量为 $K_5$、$V_8$ 或平面的博弈。

这些类别严格包含平面图形，因为根据库拉托夫斯基定理，平面图形恰好是不包含 $K_{3,3}$ 和 $K_5$ 作为子式的图形类别。类别 3 严格包含类别 1 和 2，并且还包含既不是 $K_{3,3}$ 子式无关也不是 $K_5$ 子式无关的博弈。因此，我们的结果涵盖了平面输赢双矩阵博弈的一个大的非平凡超类。

证明思路概述

以 $K_{3,3}$ 子式无关博弈为例，其证明思路如下：
1. 确定关键循环 ：考虑 $K_{3,3}$ 子式无关博弈的基础图，核心思想是在该图中识别出一个无支配诱导循环，这样的循环对应于一个纳什均衡。
2. 分解图 ：由于我们寻找的是特定类型的循环，需要关注基础无向图的任何双连通分量（因为无向循环不能跨越双连通分量）。进一步使用一种方法将基础双连通图分解为三连通分量。