48、稀疏输赢双矩阵博弈中高效计算纳什均衡的算法

稀疏输赢双矩阵博弈中高效计算纳什均衡的算法

1. 引言

在输赢双矩阵博弈领域，前人已取得了一些成果。例如，有研究表明每个纯策略最多有两个获胜位置的输赢双矩阵博弈可在线性时间内求解，还有研究指出平面输赢双矩阵博弈是多项式时间可解的。本文在此基础上进行了拓展，将多项式时间替换为确定性对数空间 L，并把结果从平面博弈扩展到了几类输赢双矩阵博弈，证明了在特定空间复杂度下这些博弈可解。

2. 可解的输赢博弈类别

• K3,3 无 minors 博弈
• K5 无 minors 博弈（其三连通分量为平面或 V8）
• 三连通分量为 K5、V8 或平面的博弈

这些类别严格包含平面图形，因为根据库拉托夫斯基定理，平面图形恰好是不包含 K3,3 和 K5 作为 minors 的图形类别。类别 3 严格包含类别 1 和 2，并且还包含既不是 K3,3 无 minors 也不是 K5 无 minors 的博弈。

3. 证明思路概述

以 K3,3 无 minors 博弈为例，核心思路是在其底层图中识别出一个非支配诱导循环，这样的循环对应着一个纳什均衡。由于我们寻找的是特定类型的循环，所以需要关注底层无向图的双连通分量，然后使用特定方法将底层双连通图分解为三连通分量。如果能在每个三连通分量中产生非支配诱导循环，就可以将它们“拼接”在一起，在原始图中得到至少一个非支配诱导循环。对于非平面分量（即 K5 和 V8），我们证明每个强连通的二分细分图都有一个非支配诱导循环