36、多准则旅行商问题的确定性算法及区间图部分表示扩展研究

多准则旅行商问题的确定性算法及区间图部分表示扩展研究

多准则旅行商问题的确定性算法

多准则 TSP 中的匹配与路径计算

在多准则旅行商问题（TSP）中，存在一个匹配 $M_i$，满足 $w_{\beta}^i (e) \leq 2\varepsilon^2 w_{\beta}^i (M_i)$ 且 $w_{\beta}(M_i) \geq \frac{1}{2} \cdot w_{\beta}(\tilde{H}-K)$。利用引理 4（其中 $\eta = 4\varepsilon^2$），可以计算出一个匹配 $P \subseteq \bigcup_{i\in I} M_i$，使得对于每个 $i \in I$，有 $w_{\beta}^i (P) \geq (\frac{1}{2} - 2\varepsilon) w_{\beta}^i (M_i)$。并且，$P \cup K$ 是一个路径集合。对于任意 $i \in I$，有 $w_i(P \cup K) \geq w_i(K) \geq w_i(\tilde{H})/4$。进一步推导可得：
[
\begin{align }
w_i(P \cup K) &\geq w_{\beta}^i (P) + w_i(K) \
&\geq (\frac{1}{2} - 2\varepsilon) \cdot w_{\beta}^i (M_i) + w_i(K) \
&\geq (\frac{1}{4} - \varepsilon) \cdot w_{\beta}^i (\tilde{H}-K) + w_i(K) \
&\geq (\frac{1}{4}