26、小字母表下具有常数时间操作的简洁动态基数树

小字母表下具有常数时间操作的简洁动态基数树

1. 引言

在计算机科学领域，树结构是一种极为重要的数据结构，而 k - 元基数树（k - ary cardinal trees）作为其中的一种，有着广泛的应用。k - 元基数树是一种根树，每个节点最多有 k 个子节点，且每条边都用字母表 {1, …, k} 中的一个符号进行标记，也被称为度为 k 的字典树（tries）。

在本文中，我们聚焦于节点数为 n 的 k - 元基数树，且字母表大小较小的情况，即 k = (log n)^O(1)。我们的目标是设计一种简洁的数据结构来表示动态 k - 元基数树，该数据结构使用的空间接近信息论下界，并且能高效地支持所需的操作。

信息论下界是通过对不同 k - 元基数树数量取对数来计算的，即 log C(n, k) = log( (kn + 1 选 n) / (kn + 1) ) ≈ 2n + n log k - o(n + log k) 位。我们需要支持的操作如下：
- parent ：返回当前节点的父节点。
- child(i) ：返回当前节点的第 i 个子节点。
- label - child(α) ：返回当前节点与边标记为 α 的子节点。
- degree ：返回当前节点的子节点数量。
- subtree - size ：返回以当前节点为根的子树的节点总数。
- is - ancestor(x) ：判断当前节