26、简洁动态基数树：小字母表下的常数时间操作

简洁动态基数树：小字母表下的常数时间操作

在图论和数据结构领域，图的分割问题以及树的高效表示一直是研究的热点。本文将围绕图分割问题中的最大组件问题以及动态 k 元基数树的简洁表示展开探讨。

图分割问题的结论

在图分割问题中，最大组件问题（MAXINUM COMPONENTS）是一个自然的问题，但在相关文献中却未受到足够的关注。研究得出了该问题的一个 EPTAS（近似多项式时间近似方案）。同时，还确定了两类图，在这两类图中最大组件问题可以在多项式时间内解决，分别是区间图和有界树宽图。然而，在分裂图上，最大组件问题是 W[1] - 困难的，并且在合理的复杂度假设下，不存在 PTAS（多项式时间近似方案）。

动态 k 元基数树的研究背景

动态 k 元基数树是一种根树，其中每个节点最多有 k 个孩子，每条边都用字母表 {1, …, k} 中的一个符号标记，也被称为度为 k 的字典树。当考虑具有 n 个节点的 k 元基数树时，若字母表的大小较小，特别是 k = (log n)^O(1) 时，如何高效地表示和操作这种树是一个重要的问题。

一个简洁的数据结构是指使用接近信息理论下界的空间来表示输入，并能高效地支持所需操作。对于具有 n 个节点的 k 元基数树，其信息理论下界通过对不同此类树的数量取对数来计算，约为 2n + n log k - o(n + log k) 位。

所需的操作包括：
| 操作 | 描述 |
| ---- | ---- |
| parent | 当前节点的父节点 |
| child(i) | 当前节点的第 i 个孩子 |
| label - child(α)