27、高效计数的数据结构：简洁动态基数树与整数表示

高效计数的数据结构：简洁动态基数树与整数表示

1 简洁动态基数树操作

1.1 树操作基础

在基数树操作中，DFUDS 序列 $D_{\tau}$ 包含 $2·|\tau|$ 个平衡括号。树 $\tau$ 上的 parent、child、degree、subtree - size 和 is - ancestor 等操作，可通过 $D_{\tau}$ 上的平衡括号操作以及 rank/select 操作来实现。preorder 操作同样可借助 $D_{\tau}$ 上的平衡括号操作和 rank/select 操作达成。插入和删除叶子节点对应着插入和删除括号对 “()”。

1.2 微树的边标签

设 $L_{\tau}$ 是按 DFUDS 顺序包含 $\tau$ 所有边标签的序列。执行 label - child($\alpha$) 操作时，需先找出 $\alpha$ 在当前节点及其子节点所有边标签中的排名 $i$，再使用 child($i$)。为找到 $i$，要先计算当前节点之前 $\alpha$ 的数量，然后利用 $D_{\tau}$ 和 $L_{\tau}$ 上的 rank/select 结构找到下一个 $\alpha$ 的位置。执行 insert - leaf($\alpha$) 操作时，同样需要找到 $i$ 以插入标签。若所有边标签中不存在 $\alpha$，则需要更多信息。为此，为每个内部节点下方的所有边标签构建动态前驱结构。

$L_{\tau}$ 由连续子序列 $s_i$（$i = 1 · · · I_{\tau}$）组成，其中 $s_i$ 按前序表示 $\tau$ 的第 $i$ 个内部节点下方的所有标签，且 $|s_i| ≤