14、列表边着色重新配置的改进充分条件

列表边着色重新配置的改进充分条件

在图论中，列表边着色的重新配置问题是一个有趣且具有挑战性的问题。我们将介绍一种多项式时间算法，该算法用于在满足特定充分条件的情况下，找到树 $T$ 的两个给定 $L$-边着色 $f_0$ 和 $f_t$ 之间长度为 $O(n^2)$ 的重新配置序列。

算法概述与定义

算法的主要目标是将树 $T$ 的边从初始的 $L$-边着色 $f_0$ 逐步转换为目标 $L$-边着色 $f_t$。算法将边的着色过程分为三个主要步骤：
1. 步骤 1：固定所有紧边 ：在不重新着色其他紧边的情况下，将每个紧边着色为其目标颜色。
2. 步骤 2：修改树 $T$ ：调整树的结构，使得所有紧边的每个端点的度数不为 2。
3. 步骤 3：固定所有温和边和松弛边 ：将剩余的温和边和松弛边着色为其目标颜色。

下面是算法步骤的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[步骤 1: 固定所有紧边];
    B --> C[步骤 2: 修改树 T];
    C --> D[步骤 3: 固定所有温和边和松弛边];
    D --> E[结束];

为了更好地理解算法，我们先给出一些相关的定义：
- 对于树 $T$，用 $V(T)$ 表示其顶点集，$E(T)$ 表示其边集。
- 顶点 $v$ 在树 $T$ 中的度数用 $d(v, T)$ 表示。